中考数学最值问题

最值问题最值问题是初中数学的重要内容，从难度上看，既可以是很简单的小题，也可以是综合性较强的大题，一直是中考命题的热点，在压轴题和选择填空题中都经常出现。1.代数型主要利用①不等式（包括根的判别式）②函数的增减性（结合自变量的取值范围）2.几何型问题主要根据①两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）②垂线段最短(三角形中大角对大边)；③定圆的所有弦中，直径最长(三角形中大角对大边)；④连接圆外一点和圆上各点的线段中，该点和圆心连线（或延长线）与圆的交点到该点间的线段最短（或最长）。在中考的解答题中，还常常结合其他知识，把最值问题与其他问题综合在一起，增加了难度。【例】（2016·温州）有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．（1）求该什锦糖的单价．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？3甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152530千克数404020不等式求最值在中考中常见于应用题4利用判别式实质也是应用不等式5利用函数单调性是求最值应用题的常见方法6二次函数在某段内单调，所以应用题要考虑取值范围，二次函数最值是否在范围内7PQ8二次函数求最值中考中不仅是应用题9分析：△OBM中，OB是定长，故面积大小由点M到OB的距离决定，面积最大时点M应是平行于OB且与抛物线只有一个交点的直线与抛物线的交点。设平行于OB的直线为y=x+b，交点坐标同时应满足y=-x2+5x，y=x+b，得x+b=-x2+5x，即x2-4x+b=0，因只有一个交点，则方程只有相同解，判别式16-4b=0，得b=4，∴x=2,即M（2，6）。QM考虑另一种解法10求两点间距离的最值，常依据两点间线段最短（三角形两边之和大于第三边）11求直线上动点到两定点距离和的最值，常将两定点变化到直线异侧，再利用对称的性质解决。本题是几何方法求最值较经典的例题，依据是三角形两边之和大于第三边（两点间线段最短）12本题与上例类似，仍利用对称解决。问题：如果作Q的对称点是否可以？直线AB与CD间的距离和AD与BC间的距离是否相等。13本题仍与上例类似，可利用对称解决。如果题目中已经有对称图形，则不作对称点，而是找对称点。14求三条线段和的最值问题，可先固定一条线段长，转化为求另两条线段长的和，然后再考虑第一条线段动的情况。化繁为简，分步求解15求直线上动点到两定点距离差的最值，常将两定点变化到直线同侧，再利用对称的性质解决。依据是三角形两边之差小于第三边【例】（2016•成都）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM与△DCF在CD同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处（边PR与BC重合，△PRN与△BCG在BC同侧）。则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为_______．分析：如图③，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∠MPN＝90°，由剪裁过程可知，MP＝NP，所以△MPN是等腰直角三角形．当PM最小时MN最小，也就是求图②中的AE最小，易知AE垂直于BD时最小，∴AE最小值可求得为，∴MN的最小值为．【点评】本题经过推导，最后变为求连接点A与线段BD上各点的线段中的最短线段的问题（即垂线段最短问题）。165565106【例】（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为分析：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．1718【例5】（2016·湖南湘西）如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．1920本题同样可由平行于DA且与抛物线只有一个交点的直线与抛物线组成方程组，由判别式求解。21【例】(达州）如图，已知抛物线y=ax2+2x+6（a≠0）交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，边WZ经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且△CEF的面积为6．（1）求该抛物线的解析式；（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．22