2018届内蒙古包头市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

第1页共17页2018届内蒙古包头市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则A∩B＝（）A．{3}B．{1，5}C．{5}D．{1，3，5}【答案】A【解析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∩B＝{3}故选：A【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设复数12zi，则（）A．223zzB．224zz．C．225zzD．226zz【答案】C【解析】∵234i224izz，∴225zz故选：C3．设向量、满足||＝1，||，且•1，则|2|＝（）A．2B．C．4D．5【答案】B【解析】由已知结合向量数量积的性质|2|，可得答案.【详解】∵||＝1，||，且•1，则|2|故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题第2页共17页4．4．若角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题得,所以，故选C.5．设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣4B．4C．0D．﹣3【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故选：D．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．第3页共17页6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是把棱长为2的正方体截去右侧而得，再由正方体体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为2的正方体截去右侧而得，则该几何体的体积为．故选：D．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然第4页共17页后再根据三视图进行调整.7．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿数为（）A．1只B．只C．只D．2只【答案】C【解析】依题意设,即,解得.故选C.8．函数在上的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直接利用函数的性质奇偶性求出结果．【详解】函数的解析式满足，则函数为奇函数，排除CD选项，由可知：，排除A选项.故选B.【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用．属中档题.第5页共17页9．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根题意得到，n=1,S=1,N=2,S=3;N=3,S=6;N=4,S=10;N=5,S=15;此时S11,输出S=15.故答案为：C。10．已知曲线y＝xex在x＝x0处的切线经过点（1，2），则（x02﹣x0﹣1）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】A【解析】求出原函数的导函数，得到f′（x0），再求出f（x0），求出切线方程，然后求解（x02﹣x0﹣1）e即可.【详解】∵y＝xex，∴f′（x）＝（x+1）ex，∴f′（x0）＝（x0+1）e，又f（x0）＝x0e，切线方程为：y﹣x0e（x0+1）e（x﹣x0）曲线y＝xex在x＝x0处的切线经过点（1，2），可得2﹣x0e（x0+1）e（1﹣x0）解得（x02﹣x0﹣1）e2．故选：A．第6页共17页【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是中档题．11．直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于A，B两点，F为右焦点，若AB⊥BF，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】联立，得xB，由F为右焦点，AB⊥BF，得直线BF：y（x﹣c），联立，得xB，从而，由此能求出该双曲线的离心率．【详解】直线与双曲线（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于A，B两点，联立，得xB，∵F为右焦点，AB⊥BF，∴F（c，0），直线BF：y（x﹣c），联立，得xB，∴，整理，得：，由e＞1，解得该双曲线的离心率e．故选：B．第7页共17页【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查直线、双曲线等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题12．在四面体中，底面，，，为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】，设的外心为O，则在上，设，则即，解得四面体的外接球的半径，解得则故选点睛：本题主要考查了四面体与球的位置关系，结合题目条件，先利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，再由球心与外接圆圆心连接再次勾股定理，结合外接球的表面积计算得长度，从而计算出结果，本题有一定难度，需要学生能够空间想象及运用勾股定理计算13．某地区有1000家超市，其中大型超市有150家，中型超市有250家，小型超市有600家.为了了解各超市的营业情况，从中抽取一个容量为60的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的小型超市共有__________家．【答案】36第8页共17页【解析】根据分层抽样，按照比例得到小型超市有6006036.1000故答案为：36.14．抛物线x2＝2py（p＞0）上一点（4，1）到其焦点的距离d＝_____．【答案】5【解析】根据题意，将点（4，1）坐标代入抛物线的方程可得p＝8，即可得抛物线的方程，进而可得其焦点的坐标，由两点间距离公式计算可得答案．【详解】根据题意，抛物线x2＝2py（p＞0）经过点（4，1），则有16＝2p，解可得p＝8，则抛物线的标准方程为：x2＝16y，其焦点坐标为（0，4），点（4，1）到其焦点的距离d5；故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是由定点坐标求出抛物线的标准方程．15．若函数f（x）＝|2x﹣4|﹣a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为_____．【答案】【解析】由题意可得|2x﹣4|＝a有两个不等实根，作出函数y＝|2x﹣4|的图象，观察图象特点，平移直线y＝a，即可得到所求范围．【详解】函数f（x）＝|2x﹣4|﹣a存在两个零点，即为|2x﹣4|＝a有两个不等实根，作出函数y＝|2x﹣4|的图象，可得图象经过点（0，3），当x＜0时，图象趋向于直线y＝4，由直线y＝a，平移可得当3＜a＜4时，函数y＝|2x﹣4|的图象与直线y＝a有两个交点，一个交点的横坐标为正，另一个交点的横坐标为负的，故答案为：（3，4）．第9页共17页【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16．设Sn为正项数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1（Sn+Sn+1）＝2n，则Sn＝_____．【答案】【解析】根据数列的递推公式可得Sn+12﹣Sn2＝2n，再根据迭代法即可求出通项公式【详解】∵an+1（Sn+Sn+1）＝2n，∴（Sn+1﹣Sn）（Sn+Sn+1）＝2n，即Sn+12﹣Sn2＝2n，∴Sn2﹣S12＝S22﹣S12+S32﹣S22+…+Sn2﹣Sn﹣12＝2+22+23+…+2n﹣1＝2n﹣2，∵a1＝1，∴Sn2＝2n﹣1，∵an＞0∴Sn，故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推公式和迭代法求数列的通项公式，属于中档题三、解答题17．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；第10页共17页（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）.【解析】（1）又2sinC＝5sinA，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．【详解】（1）∵2sinC＝5sinA，∴2c＝5a，又∵a＝2，解得c＝5．∴cosB，又B∈（0，π）．∴B．（2）∵设BC边上的中线为AD，则AB＝5，BD＝1，B，∴在△ABD中，由余弦定理可得：AD．【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上，且AD＝PD＝4．（1）证明：平面BEF⊥平面PAD；（2）若PA∥平面BEF，求四棱锥F﹣BCDE的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）证明PD⊥EB，EB⊥AD，推出BE⊥平面PAD，然后证明平面BEF⊥平面PAD；第11页共17页（2）连接AC交BE于G，连接GF，证明PA∥FG，△AEC～△CBG，得到PF：FC＝AG：GC＝1：2，求出梯形BCDE的面积然后求解几何体的体积．【详解】（1）证明：PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PD⊥EB，又底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且点E是棱AD的中点，所以EB⊥AD，又PD∩AD＝D，所以BE⊥平面PAD，BE⊥平面PAD，BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．（2）连接AC交BE于G，连接GF，则GF＝平面PAC∩平面BEF，因为PA∥平面BEF，所以PA∥FG，因为底面ABCD是菱形，且点E是棱AD的中点，所以△AEC～△CBG，且AG：GC＝AE：BC＝1：2，所以PF：FC＝AG：GC＝1：2，梯形BCDE的面积，所以．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，空间考查空间想象能力以及计算能力．19．某鲜奶店每天购进30瓶鲜牛奶，且当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：瓶，n∈N）的函数解析式（n∈N）．鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量（单位：瓶）绘制出如下的柱形图（例如：日需求量为25瓶时，频数为5）：第12页共17页（1）求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（2）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于100元的概率．【答案】（1）平均数：111.95元；（2）0.75.【解析】（1）结合柱形图可得日需求量和频数，运用加权平均数计算可得所求值；（2）由（1）求得当天利润不少于100元的频数，即可得到所求概率．【详解】（1）日利润为120元有60天，85元有5天，92元有10天，99元有10天，106元有5天，113元有10天，可得这100天的日利润（单位：元）的平均数为120×0.6+85×0.05+92×0.1+99×0.1+106×0.05+113×0.1＝111.95（元）；（2）由（1）可得120元有60天，106元有5天，113元有10天，可得当天利润不少于100元的概率为0.75．【点睛】本题考查离散型随机变量的平均数的求法，考查计算能力，属于基础题．20．如图，椭圆W：的焦距与椭圆Ω：+y2＝1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线O