上海大学插班生考试题及答案

上海大学2008～2009学年秋季学期试卷课程名：高等数学A（一）课程号：学分：6应试人声明：我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。应试人应试人学号应试人所在院系题号一二三四五六得分得分评卷人一、单项选择题：（每小题3分，共15分）1.0x是函数11()1xfxe的（）。A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．第二类间断点2.当0x时，()sinfxxx是()singxxx的()。A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶无穷小但非等价无穷小3.设00lim()0,lim()0,()()0xxfxgxfxgx，则成立()。A．0()lim1()xfxgxB．()0lim()0gxxfxC．011lim0()()xfxgxD．0lim()()0xfxgx4.设()fx满足条件0020()()lim0xxfxfxAxx，则0()fx是()。A．极小值B．极大值C．不是极值D．不能确定是否是极值5.设xe是函数()fx的一个原函数，则()xfxdx()。A．(1)xexCB．(1)xexCC．(1)xexCD．(1)xexC得分评卷人二、填空题：（每小题3分，共15分）6.已知函数()fx的定义域是1,1，则函数1()1fx的定义域是。7.为使函数ln(12),0(),0xxfxxxax在定义域内连续,则a=。8.函数21()fxxx的上凸区间是。9.若2()fxdxxC，则2(1)xfxdx。10.曲线11xyxe的铅直渐近线是。得分评卷人三、计算下例各题：（每小题5分，共40分）11、0ln(arcsin)limcotxxx12、1limxxxxe13、如果函数()yx由方程2xyexy所确定，求(0)y。14、设21(sin),yfx其中f是可微函数，求()yx。15、cos1xdx16、2ln(1)xdxx17、证明不等式：ln(0)xexx。18、已知()sincosxfexx，求()fx。19．在曲线21(1)2yx（0x）上任意点P作切线，切线与x轴交点是M，又从点P向x轴作垂线，垂足为N。试求三角形PMN面积的最小值。得分评卷人五、求解下列各题:(每小题5分,共10分)20、设函数()fx满足：()0,()fafa存在，求极限1()lim()nnfanfa。21、设函数()fx满足2()(())2fxfxx，讨论0x是否是函数()fx的极值点。得分评卷人六、求解下列各题（每题6分，共12分）22、设函数()(1)(),()fxxgxgx在1,2上有二阶导数，且(1)(2)0gg，证明：在区间1,2内至少存在一个点，使得()0f23、设函数()fx是单调函数，且二阶可导，记()gx是()fx的反函数，已知：1(1)2,(1),(1)13fff，求：(1)0(1)(1)lim2xfxfx；(2)(2)g。上海大学2008-2009学年度秋季学期高等数学A（1）考试试卷答案（A卷）一．单项选择题：（每小题3分，共15分）1.C2.B3.D４.A５.C二．填空题：（每小题3分，共15分）6.,0(2,).7.2.8.0,1.9.2112xC.10.0x三、求解下列各题:(每小题5分,共40分)11.200211ln(arcsin)arcsinlimlim1cotsinxxxxxxx（2分）20sinlim.1arcsinxxx（2分）20lim0xxx（1分）12.1limxxxxe解:1ln(),ln,xxxxeyxeyx（2分）1ln()limlnlimlimlim111xxxxxxxxxexeexeyxe（2分）1limxxxxee（1分）13.如果函数()yx由方程2xyexy所确定,求(0)y.解:(0)1y（1分）()2,(0)1xyeyxyyy（2分）2()(2),(0)1xyxyeyxyeyxyyy（2分）14.设21(sin),yfx其中f是可微函数,求()yx.解:211112(sin)(sin)cos()yffxxxx（5分）15.cos1xdx解:21,2xtdxtdt（1分）cos1cos22sinxdxttdttdt2(sinsin)2sincostttdttttC（2分）2(1sin1cos1)xxxC（2分）16.2ln(1)xdxx解;2ln1111lnln(1)111xdxxdxdxxxxxx（2分）1111lnln(lnln(1))111xdxxxxCxxxx（3分）17.证明不等式:ln(0)xexx.证明:()lnfxxex（2分）10,;()0;xefxefexe（2分）极小值(唯一极值),最小值()()0,lnfxfexex（1分）18.已知()sincosxfexx,求().fx解:()()(sincos)sinxxxxxfefedexxedxexc（3分）()sin(ln)fxxxC（2分）四、应用题：（8分）19．在曲线21(1)2yx（0x）上任意点P作切线，切线与x轴交点是M，又从点P向x轴作垂线，垂足是N。试求三角形PMN面积的最小值.解:在点2001(,(1))2Pxx处切线方程:20001(1)();2yxxxx（2分）20000000000010,,(,0),,0;;2yyyxyxxMxNxMNxxxx2222000001(1)1111(1);22228PMNxxSMNPNxxx（2分）2200020013110,.3xxdSxdxx（2分）1111630,,0.,,0.min()9333xSxSSS（2分）五.求解下列各题:(每小题5分,共10分)20.设函数()fx满足:()0,()fafa存在.求极限1()lim()nnfanfa.解:1()lim()nnfanfa=1()()()1()1()()1()()lim1()fafanfafanfafannfafanfa（3分）()()fafae（2分）21.设函数()fx满足2()(())2.fxfxx讨论0x是否是函数()fx的极值点.解:(1)若(0)0,f则0x不是函数()fx的极值点;（2分）(2)若(0)0,f由于2()2(())fxxfx是连续函数,得22000()2(())(())limlimlim2xxxfxxfxfxxxx02lim()()2;xfxfx,0,()0,0,,()0;xfxxfx,0,()0,0,,()0;xfxxfx（3分）则0x不是函数()fx的极值点六、求解下列各题:(每小题6分,共12分)22.设函数()(1)(),()fxxgxgx在1,2上有二阶导数,且(1)(2)0gg.证明:在区间1,2内至少存在一个点,使得()0f.证明:(1)(2)0,1,2,()0;ffafa（2分）()()(1)(),(1)0;fxgxxgxf（2分）在1,a上,对()fx用罗尔定理：至少存在一个点,使得()0f.（2分）23.设函数()fx是单调函数,且二阶可导,记()gx是()fx的反函数.已知:1(1)2,(1),(1)13fff。求：(1)0(1)(1)lim2xfxfx;(2)(2)g.解:(1)00(1)(1)(1)(1)113limlim(1)2226xxfxffxffxx（2分）(2)0011(2)(2)(1)(1)(2)limlim(1)(1)xygxgfyfgxfyf0(1)(1)11lim(1)(1)(1)(1)yffyfyfyffyy（2分）33(1)/((1))(3)33ff（2分）