构造法在导数中的应用

导数第1页共12页导数常用方法---构造法关系式为“加”型（1）'()()0fxfx构造[()]'['()()]xxefxefxfx（2）'()()0xfxfx构造[()]''()()xfxxfxfx（3）'()()0xfxnfx构造11[()]''()()['()()]nnnnxfxxfxnxfxxxfxnfx（注意对x的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）'()()0fxfx构造2()'()()'()()[]'()xxxxxfxfxefxefxfxeee（2）'()()0xfxfx构造2()'()()[]'fxxfxfxxx（3）'()()0xfxnfx构造121()'()()'()()[]'()nnnnnfxxfxnxfxxfxnfxxxx经典例题例1、已知定义在R上的可导函数()yfx的导函数为()fx，满足()()fxfx，且(1)yfx为偶函数，(2)1f，则不等式()xfxe的解集为（）A.(,0)B.(0,)C.4(,)eD.4(,)e【答案】B变式、【2015课标2理12】设函数错误!未找到引用源。是奇函数错误!未找到引用源。的导函数，错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，则使得错误!未找到引用源。成立的错误!未找到引用源。的取值范围是（）A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．错误!未找到引用源。D．错误!未找到引用源。【答案】A例2、已知()fx是定义在R上的偶函数，其导函数为()fx，若()()fxfx，且(1)fx(3)fx，(2015)2f，则导数第2页共12页不等式1()2xfxe的解集为（）A．(1,)B．(,)eC．(,0)D．1(,)e【答案】A试题分析：因为函数()fx是偶函数，所以(1)(3)(3)fxfxfx，所以(4)()fxfx，即函数()fx是周期为4的周期函数.因为(2015)(45041)(1)(1)2ffff，所以(1)2f.设()()xfxgxe，所以2()()()()()0xxxxfxefxefxfxgxee所以()gx在R上是单调递减，不等式1()2xfxe等价于()2xfxee即()(1)gxg，所以1x.所以不等式1()2xfxe的解集为(1,)，故答案选A.变式、设函数f（x）在R上存在导数)(xf，Rx，有2)()(xxfxf，在),0(上，xxf)(，若0618)()6(mmfmf，则实数m的取值范围为（）A．),2[B．),3[C．[-3，3]D．),2[]2,(【答案】B令221)()(xxfxg，∵021)(21)()()(22xxfxxfxgxg，∴函数g（x）为奇函数，∵),0(x时，0)()(xxfxg，函数g（x）在),0(x上为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，061821)()6(21)6(618)()6(22mmmgmmgmmfmf，即0)()6(mgmg，∴)()6(mgmg，∴mm6，∴3m．例3、设函数xexexgxxexf222)(,1)(，对任意),0(,21xx，不等式1)()(21kxfkxg恒成立，则正数k的取值范围是（）A．),1(B．),1[C．)1,(D．]1,(【答案】B【解析】∵k为正数，∴对任意),0(,21xx，不等式1)()(21kxfkxg恒成立minmax]1)([])([kxfkxg，由0)1()(22xxexexg得1x，)1,0(x，0)(xg，),1(x，0)(xg，∴kekgkxg)1(])([max.同理)1,0(,101)(22exexxxexfx，0)(xf，),1(ex，0)(xf，121)1(]1)([minkekefkxf，∴1,0,12kkkeke，故选B.变式、4、若定义在错误!未找到引用源。上的函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，其导函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，则下列结论中一定错误的是（）A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．错导数第3页共12页误!未找到引用源。D．错误!未找到引用源。【答案】C【解析】由已知条件，构造函数错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，故函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单调递增，且错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，所以函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单调递增，且错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，选项A,B无法判断，故选C．练习1．已知)(xf是定义域，值域都为(0,)的函数，满足2()()0fxxfx，则下列不等式正确的是（）A．2016(2016)2015(2015)ff[来源:Z_xx_B．2016(2016)2015(2015)ffC.332015(2015)2016(2016)ffD.332015(2015)2016(2016)ff[来源:学科网ZXXK]【答案】C【解析】构造函数0)()(2)(),()(22xfxxxfxgxfxxg，所以)(xg在),0(单调递增，所以)2016(2016)2015(201522ff，结合不等式性质.故C正确.2、已知函数()yfx对任意的(,)22x满足()cos()sin0fxxfxx(其中()fx是函数()fx的导函数)，则下列不等式成立的是（）A.2()()34ffB.2()()34ffC.(0)2()3ffD.(0)2()4ff【答案】A【解析】令xxxfxxfxxxfxxfxgxxfxg2'2'''cossincoscoscoscos,cos则，由对任意的(,)22x满足()cos()sin0fxxfxx可得0'xg，所以函数xg在2,2上为增函数，所以43gg，即4cos43cos3ff，所以432ff，故选A．3、设()fx为函数()fx的导函数，已知21()()ln,()xfxxfxxfee，则下列结论正确的是（）（A）()fx在(0,)单调递增（B）()fx在(0,)单调递减（C）()fx在(0,)上有极大值（D）()fx在(0,)上有极小值【答案】B导数第4页共12页4、已知函数2ln)(bxxaxf，Rba,．若不等式xxf)(对所有的]0,(b，],(2eex都成立，则a的取值范围是（）A．),[eB．),2[2eC．),2[22eeD．),[2e【答案】B构造法在导数大题中的应用例1、证明对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立。例2、已知函数xbaxxfln1，此函数在)1(,1f处的切线为x轴（1）求xf的单调区间；（2）当0x时，证明：xxxx11ln11；（3）已知2,nNn，求证：11211ln13121nnn导数第5页共12页变式1．已知函数21ln12fxaxxax．（1）求函数fx的单调区间；（2）若0fx对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对于任意正整数m，n，不等式111ln1ln2lnnmmmnmmn恒成立．导数第6页共12页（2）由于112fa，显然当0a时，10f，此时0fx不是恒成立的，当0a时，函数fx在区间0,的极小值，也就是最小值即是112fa，此时只需10f即可．解得12a，故得实数a的取值范围是1,2．……………………………………8分（3）当12a时，2111ln0222fxxxx，等号当且仅当1x成立．这个不等式即2lnxxx，当1x时，可以变凑为2111ln1xxxxx，在上面不等式中分别令1xm，2m，，mn，111111ln1ln2ln1121mmnmmmmmmnmn111111111121nmmmmmnmnmmnmmn所以111ln1ln2lnnmmmnmmn……………………………………12分变式2、已知函数.1e)(axxfx（Ⅰ）若曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线方程为,2bxy求实数ba,的值；（Ⅱ）求)(xf在),0[上的最小值；（Ⅲ）证明：nnnnnn)2(1ee)12(31.导数第7页共12页（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1a时，1e)('xxf，)(xf在),0[上单调递增，在]0,(上单调递减，故0)0()(fxf，即xex1，令nkx2)12,,3,2,1(nk，则2e22knnkn，nn21nn23nn25212e212nnnn232en21252een121121e1ee1)e1(en1ee.nnnnnn)2(1ee)12(31.14分作业1．已知21()ln(0)2fxaxxa，若对任意两个不等的正实数12xx、都有1212()()2fxfxxx恒成立，则a的取值范围是.【答案】1,2、【2015新课标1理12】设函数错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,其中a1，若存在唯一的整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。0，则错误!未找到引用源。的取值范围是（）(A)[-错误!未找到引用源。，1）(B)[-错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。）(C)[错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）(D)[错误!未找到引用源。，1）【答案】D【解析】设错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，由题知存在唯一的整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。在直线错误!未找到引用源。的下方.因为错误!未找到引用源。，所以当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。＜0，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。＞0，所以当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。=-1，错误!未找到引用源。，直线错误!未找到引用源。恒过（1,0）斜率且错误!未导数第8页共12页找到引用源。，故错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。＜1，故选D.3.曲线20fxaxa与lngxx有两条公切线，则a的取值范围为（）A．10