线段和、差处理技巧

线段和差处理技巧（一）等线段代换法方法归纳通过用图中相等的线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两线段相等的问题.1.如图，△ABC中，∠BAC=900，D为BC上一点，AB=BD，DE⊥BC交AC于E，求证：AC-DE=CE.DEABCDEABC【解析】连BE，证△BAE≌△BDE，用AE代换DE即可.2.如图，CD为△ABC的中线，M、N分别为直线CD上的点，且BM∥AN.（1）求证：AN=BM;（2）求证：CM+CN=2CD.NDABCM【解析】（1）证△ADN≌△BDM.(2)CM+CN=(CD-DM)+(CD+DN)=2CD.3.如图，△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，AN是过A的一条直线，且BM⊥AN于M，CN⊥AN于N；（1）求证：AN=CN；（2）求证：MN=BM-CN.NMABC【解析】通过△ABM≌△CAN，用AM代换CN，AN代换BM即可.4.如图，△ABC是等腰直角△，∠ACB=900，D为BC延长线上一点，BF⊥AD于F，交AC于E，（1）求证：BE=AD;（2）过C作CM∥AB交AD于M，连EM，求证：BE=AM+EM.EMFBCAD【解析】（1）证△BCE≌△ACD即可.（2）证△CEM≌△DCM，再用AD代换BE，DM代换EM即可.5.如图，△ABC中，∠BAC=90º，AC=2AB，D为AC的中点，AF⊥BC于F，DG⊥AC交AF的延长线于G，BD交AG于H.(1)求证：CE=AH;(2)求证：BC=CE+HGFHGEBDAC【解析】（1）证△CED≌△AHB;（2）证△ADG≌△BAC，用AG代换BC，AH代换CE即可.【规律总结】通过全等得到等线段，直接代换，将分散的几条线段转化到一直线上解决问题.线段和差处理技巧（二）截长补短法方法归纳在处理线段和差问题时，常考虑截长补短．截长法是在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段即可．补短法一般有两种方式：一种是将某短线段延长，使延长的一部分等于另一短线段．另一种是将某短线段直接延长至等于较长的线段．典题精练如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，CA＝CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：AE＝CN＋EN（请用多种方法证明）21NEBCA一、截长法（一）直接截长【解析】在AE上截取一段AF等于短边CN，再证EF＝EN即可，故可先证△AFC≌△CNB，再证△CFE≌△BNE．21FNEBCA（二）间接截长【解析】作∠ACF＝45°交于AE于F，先证△ACF≌△CBN，再证△CFE≌△BNE，此法实质是间接的在AE上截取AF＝CN．21FNEBCA二、补短法（一）直接补短【解析】延长CN至F，使CF＝AE，再证EN＝NF即可，故可先证△CFB≌△AEC，再证△BNF≌△BNE．21FNEBCA（二）间接补短【解析】作BF⊥BC交CN的延长线于F，先证CF＝AE（△CFB≌△AEC），再证NF＝NE（△BNF≌△BNE）．此法实质是间接的在CN后面补上NF＝EN．21FNEBCA【规律总结】无论是截长法还是补短法都是要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般都要通过构造出两对全等三角形来解决问题．