三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结

1一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE(2)DCAE(3)AE与DC之间的夹角为60(4)DFBAGB(5)CFBEGB(6)BH平分AHC(7)ACGF//2变式精练1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE（2）DCAE（3）AE与DC之间的夹角为60（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式精练2：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE(2）DCAE(3）AE与DC之间的夹角为60(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CEAG,,二者相交于点H问：（1）CDEADG是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结CEAG,,二者相交于点H问：（1）CDEADG是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？3例4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中BDAB,,EBCBCBEABD,连结AE与CD，问：（1）DBCABE是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分AHC？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。【例1】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．MCBA【练1】在△ABC中，59ABAC，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在ABC的AB边上取两点E、F，使AEBF，连接CE、CF，求证：ACBCECFC．FECBA【例2】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．4FEDCBA【练1】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEFFEDCBA【练2】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．GFEDCBA【练3】如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求证：EF∥ABFACDEB【例3】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．FEMCBA【练1】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．5FEDCBA【练2】在ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MDND．（1）若90A，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABAC．MNDABC【例4】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CDEC．EDCBA【练1】已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线．求证：2CDCEEDCBA★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方1.如图所示，ABC中，0045,90BC，AD平分BAC交BC于D。求证：AB=AC+CD。DACB6如图所示，在ABC中，060B，ABC的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。2.如图所示，已知21，P为BN上一点，且BCPD于D，AB+BC=2BD，求证：0180BCPBAP。3.如图所示，在ABCRt中，AB=AC，090BAC，CBDABD，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。5如图所示，在ABC中，090ABC，AD为BAC的平分线，C=300，ADBE于E点，求证：AC-AB=2BE。EDBCADACEBOEDABC21DMBCPNAC76.如图所示，已知AB//CD，BCDABC,的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD。7.如图，E是AOB的平分线上一点，OAEC，OBED，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF。EDBACFDCAOBE第8页共18页三、截长补短问题1：垂直平分线（性质）定理是_______________________________________________________问题2：角平分线（性质）定理是__________________________________________________________问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．三角形全等之截长补短（一）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知，如图，BM平分∠ABC，P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD．求证：∠BAP+∠BCP=180°．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；⑤；⑥；⑦；⑧．以上空缺处依次所填最恰当的是()A.①③⑥⑦B.①③⑤⑧C.②③⑥⑦D.②④⑤⑧2.已知，如图，BM平分∠ABC，点P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+DC．求证：∠BAP+∠BCP=180°．第9页共18页请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长BA，过点P作PE⊥BA于点E；②延长BA到E，使AE=DC，连接PE；③延长BA到E，使DC=AE；④；⑤；⑥；⑦．以上空缺处依次所填最恰当的是()A.②④⑦B.①⑤⑥C.③④⑥D.①⑤⑦3.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AD平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证：BC+DE=CD．第10页共18页请你仔细观察下列序号所代表的内容：①在CD上截取CF=CB，连接AF；②在DC上截取DF=DE，连接AF；③在DC上截取DF=DE；④AE=AF；⑤AF=AE，∠4=∠3；⑥∠4=∠3；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是()A.①④⑨B.③⑤⑧C.①⑥⑦D.②⑤⑨4.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求证：BC+DE=CD．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长DE到F，使EF=BC，连接AF；②延长DE到F，使BC=EF；第11页共18页③延长DE到F，连接AF；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是()A.③⑤⑥⑧B.①④⑥⑨C.①⑤⑥⑨D.②④⑦⑧四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)问题二：旋转都有哪些模型？【例1】如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P＇BA，则∠PBP＇的度数是()A．45°B．60°C．90°D．120°【例2】如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，求证：BD＝CF并求出∠DOH的度数。【例3】如图，正方形ABCD中，∠FAD＝∠FAE。求证：BE＋DF＝AE。1．题干中出现对图形的旋转——现成的全等2．图形中隐藏着旋转位置关系的全等形——找到并利用3．题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在——通过作辅助线构造旋转！【例4】已知：如图：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN的两边分别交CB、DC于点M、N。求证：BM＋DN＝MN。【例5】如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接对角线BD交AE于M，交AF于N，证明：DN2＋BM2＝MN2【例6】如图，已知△OAB和△OCD是等边三角形，连结AC和BD，相交于点E，AC和BO交于点F，连结BC。求∠AEB的大小。【例7】如图所示：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且AP＝3，CP＝2，BP＝1，求∠BPC的度数。本课总结问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)1．图中有相等的边(等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形)2．这些相等的边中存在共端点。3．如果旋转(将一条边和另一条边重合)，会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、被分割的特殊角。问题二：旋转都有哪些模型？构造旋转辅助线模型：1．大角夹半角2．手拉手(寻找旋转)3．被分割的特殊角测试题1．如图，P是正ABC内的一点，且BP是∠ABC的角平分线，若将PBC绕点P旋转到PBA，则PBP的度数是()A．45°B．60°C．90°D．120°2．如图：△ABC中，AB＝AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD＝CE，F为BA延长线上一点，BF＝CD，则下列正确的是()A．DF＝DEB．DC＝DFC．EC＝EAD．不确定3．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，则下列正确的是()A．BD2＝AB2＋BC2B．BD2＜AB2＋BC2C．BD2＞AB2＋BC2D．不确定4．已知ABC△中，90ACB°，CDAB于D，AE为角平分线交CD于F，则图中的直角三角形有()A．7个B．6个C．5个D．4个5．如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则下列正确的是()P'ABCPCBAFDEBDACA．ABDACE△≌△B．ADFAES△≌△C．BMFCMS△≌△D．ADCABE△≌△6．如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上的一点(不与A、C重合)，PE⊥BC与点E，PF⊥CD与点F，若四边形PECF绕点C逆时针旋转，连结BE、DF，则下列一定正确的是()A．BP＝DPB．BE2＋EC2＝BC2C．BP＝DFD．BE＝DF7．如图，等腰直角△ADB与等腰直角△AEC共点于A，连结BE、CD，则下列一定正确的是()A．BE＝DCB．AD∥CEC．BE⊥CED．BE＝CE8．如图，等边三角形ABE与等边三角形AFC共点于A，连接BF、CE，则EOB的度数为()A．45°B．60°C．90°D．120°9．如图，在四边形ABCD中，ABAD，90BD∠∠，E、F分别是边BC、CD上的点，且12EAFBAD∠∠。则下列一定正确的是()A．EFBEFDB．EFBEFDC．EFBEFDD．222EFBEFD10．在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，则∠BAE＋∠DCF为()A．45°B．60°C．90°D．120°FEDCBAOGFECBAFEDCBASFEDCBAMDCBAEPFABCDOEFEDCBA五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等.在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三