构造等腰三角形解题的辅助线做法

构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C,∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D，求证：BF=2CD[点拔]：遇到BD平分∠ABC且BD⊥CD，可延长CD、BA交于E，使角平分线BD又成为底边上的中线和高。证明：分别延长BA、CD交于点E∵CD⊥BD∴∠BDC=∠BDE=90°∴∠1+∠E=90°∵∠BAC=90°∴∠3+∠E=90°∴∠1=∠3在△BAF和△CAE中∠1=∠3AB=AC∠BAC=∠CAE=90°∴△BAF≌△CAE∴BF=CE在△BDE和△BCD中∠1=∠2BD=BD∠BDE=∠BDC∴△BDE≌△BDC∴CD=ED∴CE=2CD∵BF=CE∴BF=2CD[评注]：当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时，通常延长此线段与角的另一边相交，我们就可以寻找到等腰三角形。4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形例4,、如图。∠BAD=120°BD=DCAB+AD=AC求证：AC平分∠BAD{点拨}：由AB+AD=AC知，应延长BA,将AB+AD集中成为一条线段，使AE=AD则∠EAD=60°△ADE为等边三角形，余下的只要证∠CAD=60°既得证明：延长BA到E,使AE=AD连接DE∵∠BAD=120°∴∠DAE=180-120=60°又AE=AD∴△DAE是等边三角形∴DE=AD∠E=60°∵BE=AB+AEAC=AB+ADAE=AD∴BE=AC在△BDE和△CDA中BD=CDBE=CADE=AD∴△BDE≌△CDA∴∠CAD=∠E=60°∵∠BAD=120°∴∠BAC=∠CAD=60°∴AC平分∠BAD{评注}：在三角形的问题中，120°角也是常见角，可以利用120°的外角找到60°的角，经过添加线段的关系，构造等边三角形。