2011年高考理科数学(重庆卷)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数2341iiiiA．1122iB．1122iC．1122iD．1122i2．“x”是“x”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要3．已知lim()xaxxx，则aA．B．2C．3D．64．(13)(6)nxnNn其中且≥的展开式中56xx与的系数相等，则n=A．6B．7C．8D．95．下列区间中，函数fx=(2)Inx（）在其上为增函数的是A．（-,1]B．41,3C．30,2D．1,26．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足22ab4c（），且C=60°，则ab的值为A．43B．843C．1D．237．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=14ab的最小值是A．72B．4C．92D．58．在圆06222yxyx内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为A．25B．210C．152D．2209．高为24的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为A．24B．22C．1D．210．设m，k为整数，方程220mxkx在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为A．-8B．8C．12D．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上11．在等差数列{}na中，3737aa，则2468aaaa__________12．已知单位向量1e，2e的夹角为60°，则122ee__________13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________14．已知1sincos2，且0,2，则cos2sin4的值为__________15．设圆C位于抛物线22yx与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（本小题满分13分）设aR，2cossincoscos2fxxaxxx满足03ff，求函数()fx在11[,]424上的最大值和最小值.17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设()fxxaxbx的导数'()fx满足'(),'()fafb，其中常数,abR．（Ⅰ）求曲线()yfx在点(,())f处的切线方程；（Ⅱ）设()'()xgxfxe，求函数()gx的极值．19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）如题（19）图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ADCD，CAD．（Ⅰ）若AD，ABBC，求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）若二面角CABD为，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）如题（20）图，椭圆的中心为原点O，离心率e，一条准线的方程为x．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：ONOMOP2，其中,MN是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在两个定点,FF，使得PFPF为定值？若存在，求,FF的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）设实数数列}{na的前n项和nS，满足)(*11NnSaSnnn（I）若122,2aSa成等比数列，求2S和3a；（II）求证：对14303kkkaa有参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1—5CADBD6—10ACBCD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.11．7412．313．113214．14215．61三、解答题：满分75分.16．（本题13分）解：22()sincoscossinfxaxxxxsin2cos2.2axx由31()(0)1,23.3222affa得解得因此()3sin2cos22sin(2).6fxxxx当[,],2[,],()43632xxfx时为增函数，当113[,],2[,],()324624xxfx时为减函数，所以11()[,]()2.443fxf在上的最大值为又因为11()3,()2,424ff故11()[,]424fx在上的最小值为11()2.24f17．（本题13分）解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式2242C种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为224428.273C解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A，则1().3PA从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为22244128(2)()().3327PC（II）ξ的所有可能值为1，2，3.又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)((2))272733PCCCCCCPP或12123342434444(3)((3)).9933CCCCAPP或综上知，ξ有分布列ξ123P127142749从而有114465123.2727927E18．（本题13分）解：（I）因32()1,fxxaxbx故2()32.fxxaxb令1,(1)32,xfab得由已知(1)2,322,3.faabab因此解得又令2,(2)124,xfab得由已知(2),fb因此124,abb解得3.2a因此3235()31,(1)22fxxxxf从而又因为3(1)2()3,2f故曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线方程为5()3(1),6210.2yxxy即（II）由（I）知2()(333)xgxxxe，从而有2()(39).xgxxxe令212()0,390,0,3.gxxxxx得解得当(,0),()0,()(,0)xgxgx时故在上为减函数；当(0,3),()0,()xgxgx时故在（0，3）上为增函数；当(3,)x时，()0,()(3,)gxgx故在上为减函数；从而函数1()0gxx在处取得极小值2(0)3,3gx在处取得极大值3(3)15.ge19．（本题12分）（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=3.在Rt△ABC中，因AC=2AF=23，AB=2BC，由勾股定理易知215415,.55BCAB故四面体ABCD的体积1114152154.332555ABCVSDF（II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB.所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°设,sin.2aADaDFADCAD则在33,cot,236aRtDEFEFDFDEFa中从而13.26GHBCEFa因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，122aFHBD，又1,22aFGAD从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得2223cos226FGGHFHGHFGHFGGHFG因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为3.6解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为(0,3,0),(0,3,0),(0,0,1),(0,3,1).ACDAD则显然向量(0,0,1)k是平面ABC的法向量.已知二面角C—AB—D为60°，故可取平面ABD的单位法向量(,,)nlmn，使得1,60,.2nkn从而2223,30,.661,.3nADmnmlmnl由有从而由得设点B的坐标为6(,,0);,,3BxyABBCnABl由取，有22463,,0,9,()633(3)0,73,369xyxxyxyy解之得舍去易知63l与坐标系的建立方式不合，舍去.因此点B的坐标为4673(,,0).99B所以4623(,,0).99CB从而22233()39cos,.6||||462331()()99ADCBADCBADCB故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为3.620．（本题12分）解：（I）由22,22,2caeac解得2222,2,2acbac，故椭圆的标准方程为221.42xy（II）设1122(,),(,),(,)PxyMxyNxy，则由2OPOMON得112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.xyxyxyxxyyxxxyyy即因为点M，N在椭圆2224xy上，所以2222112224,24xyxy，故222222121212122(44)2(44)xyxxxxyyyy2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).xyxyxxyyxxyy设,OMONkk分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知12121,2OMONyykkxx因此121220,xxyy所以22220.xy所以P点是椭圆22221(25)(10)xy上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因22(25)(10)10c，因此两