关于数字的排列组合题解法举例

关于数字的排列组合题解法举例例1：由数字组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数5,4,3,2,1,0的个数共有多少个？解法1：（直接法）：分别用作十万位的排列数，共有种，所以其5,4,3,2,1555A中个位数字小于十位数字的这样的六位数有个．30052155A解法2：（间接法）：取个数字排列有，而作为十万位的排列有，5,,1,066A055A所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有(个)．300)(215566AA小结：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解．(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半。例2：用这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少5,4,3,2,1个？解法1：分类计算．将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有个，另一类是4作个位数，24A也有个．因此符合条件的偶数共有个．24A242424AA解法2：分步计算．先排个位数字，有种排法，再排十位和百位数字，有种排法，根据分步计数原12A24A理，三位偶数应有个．242412AA小结：本题是带有附加条件的排列问题，可分类，也可分步。例3：　用共六个数字，组成无重复数字的自然数，543210、、、、、(1)可以组成多少个无重复数字的位偶数？3(2)可以组成多少个无重复数字且被整除的三位数？3解：(1)就个位用还是用分成两类，个位用，其它两位从中任取两042、04321、、、数排列，共有(个)，个位用或，再确定首位，最后确定十位，共有1224A24(个)，所有位偶数的总数为：(个)．324423443212(2)从中取出和为的倍数的三个数，分别有下列取法：、543210、、、、、3)210(、、、、、、，前四组中有)510()420()540()321()531()432()543(，后四组中没有，用它们排成三位数，如果用前组，共有(个)，如果004162422A用后四组，共有(个)，所有被整除的三位数的总数为(个)．24433A3402416小结：位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是，由于个位用或者不用数字，300对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用或者用进行分类．一个自然数能被042、整除的条件是所有数字之和是的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排33列，但要注意就用与不用数字进行分类．0例4：用0到9这10个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有个；39A当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814AAA（个）．∴没有重复数字的四位偶数有个．2296179250428181439AAAA解法2：当个位数上排“0”时，同解一有个；当个位数上排2、4、6、8中之一39A时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：个)(283914AAA∴没有重复数字的四位偶数有个．22961792504)(28391439AAAA解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有个281515AAA干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有个281414AAA∴没有重复数字的四位偶数有个．2296281414281515AAAAAA解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．没有重复数字的四位数有个．39410AA其中四位奇数有个)(283915AAA∴没有重复数字的四位偶数有28393939283915394105510)(AAAAAAAAA个283954AA2828536AA2841A2296小结：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法，要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用。