数学文化——数列(27题)

数学文化——数列（27题）1、“竹九节”问题【编号第1题】1．【2015秋•九江校级期末】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共5升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．菁优网版权所有【分析】由题意可得等差数列的首项和公差，由通项公式可得．【解析】：由题意可得每节的容积自上而下构成9项等差数列，且a1+a2+a3+a4=5，a9+a8+a7=4，设公差为d，则a1+a2+a3+a4=4a1+6d=5，a9+a8+a7=3a1+21d=4，两式联立可得a1=，d=，所以第5节的容积a5=a1+4d=．故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．【编号第2题】2．【2011•湖北】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升【考点】等差数列的性质．菁优网版权所有【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．【解析】：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a1=，则a5=+（5﹣1）=．故选B【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．2、“女子织布”问题【编号第3题】3．【2016•江西校级模拟】《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）A．8B．9C．10D．11【考点】数列的应用．菁优网版权所有【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数．【解析】：设第一天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，由已知得，解得a1=1，d=1，所以第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+9×1=10．故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．【编号第4题】4．【2015秋•日喀则市校级期末】古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为（）A．7B．8C．9D．10【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】由等比数列前n项和公式求出这女子每天分别织布尺，由此利用等比数列前n项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．【解析】：设该女五第一天织布x尺，则=5，解得x=，所以前n天织布的尺数为：，由30，得2n≥187，解得n的最小值为8．故选：B．【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．【编号第5题】5．【2016春•东城区期末】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解析】：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，a1=5（尺），S30=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），则30×5+=390，解得d=．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【编号第6题】6．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为．【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】设这女子每天分别织布形成数列{an}尺．则该数列{an}为等比数列，公比q=2，其前5项和S5=5．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解析】：设这女子每天分别织布形成数列{an}尺．则该数列{an}为等比数列，公比q=2，其前5项和S5=5．所以，解得a1=．所以a3==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3、“走步”问题【编号第7题】7．（2016•重庆校级模拟）《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第六日所走时数为（）A．140B．150C．160D．170【考点】等差数列的通项公式．菁优网版权所有【分析】由题意设比人从第二日起每日此前一日多走d里，第一日走a1里，由等差数列通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出第六日所走里数．【解析】：由题意设比人从第二日起每日此前一日多走d里，第一日走a1里，则，解得a1=100，d=10，所以第六日所走里数为a6=100+50=150．故选：B．【点评】本题考查第差数列在生产生活中的实际运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．【编号第8题】8．（2016春•普宁市校级期中）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日B．8日C．16日D．12日【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解析】：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故选：A．【点评】本题考查了等差数列在实际问题中的应用，属于基础题．【编号第9题】9．（2016•安庆二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【解析】：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比的等比数列，由S6=378，得，解得：a1=192，所以，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．4、“分钱”问题【编号第10题】10．（2016•晋中模拟）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】等差数列的通项公式．菁优网版权所有【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解析】：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，所以a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．5、两鼠穿墙题问题【编号第11题】11．（2016•松山区校级模拟）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=尺．【考点】数列的求和．菁优网版权所有【分析】根据题意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距离为等比数列，根据等比数列的前n项和公式，求得Sn．【解析】：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，所以Sn=2n﹣1+2﹣=，故答案为：=．【点评】本题考查求等比数列的前n项和公式，要认真审题，属于基础题．6、杨辉三角问题【编号第12题】12．【2010•黄州区校级二模】如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，则这个数列的第21项的值为（）A．66B．220C．78D．286【考点】数列的应用．菁优网版权所有【分析】先对“锯齿形”的数列的奇数项找规律，求出通项公式，然后利用“锯齿形”数列的第21项即为新数列的第11项即可求出结论．【解析】：设“锯齿形”数列的奇数项构成数列{bn}，由b2﹣b1=3﹣1=2，b3﹣b2=6﹣3=3，b4﹣b3=10﹣6=4，b5﹣b4=15﹣10=5，⇒bn﹣bn﹣1=n，所以可得，即，又因为“锯齿形”数列的第21项即为数列{bn}的第11项，，故选A．【点评】本题借助于杨辉三角对数列的综合应用进行考查，是道基础题，但也是易错题，当发现不了规律时就变成了难题．所以在做数列题时，要认真审题，仔细解答，避免错误．【编号第13题】13．【2011秋•青羊区校级月考】如图，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其n项和为Sn，则S21等于（）A．229B．283C．361D．374【考点】归纳推理．菁优网版权所有【分析】由图中锯齿形数列排列，发现规律：奇数项的第n项可以表示成正整数的前n项和的形式，偶数项构成以3为首项，公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式，即可得到S21的值．【解析】：根据图中锯齿形数列的排列，发现a1=1，a3=3=1+2，a5=6=1+2+3，…a21=1+2+3+…+11而a2=3，a4=4，a6=5，…，a20=12所以前21项的和S21=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+11）]+（3+4+5+…+12）=（1×11+2×10+3×9+…+10×2+11）+，因此，S21=286+75=361故选C