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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 信息化管理 > 5.3(1)第一类换元积分法-凑微分
问题cos2xdxsin2,xC解决方法利用复合函数,设置中间变量.过程令2ux1,2dxducos2xdx1cos2udu1sin2uC.2sin21Cx一、第一类换元法2uxdu2udxdx1cos2udu凑微法的整个思想cos2xdx(cos22)xdx2ux12(2)dxxd1sin2uC.2sin21Cx2ux1cos2udu()2dx(2)2xddxx12凑内层函数的微分设()fu具有原函数()Fu,[()]()fxxdx[()]()fxdx)(xu可导,则有换元公式定理1()fudu()FuC[()]FxC()[()]()[()]uxfxxdxfudu第一类换元公式(凑微分法)说明:使用此公式的关键在于将()fxdx化为[()]().fxxdx观察重点不同,所得结论形式不同.例求.2sinxdx解(一)xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解(二)xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解(三)xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx2211222212:sin1coscos2,sincoscos2,xxxxxx说明和和相互差一常数故为同一函数的原函数.例求5sin5.xdx解55sinxdxsinuducosuCsin(5)5dxx5ux5uxcos5xC例求132dxx解132xxd原式1ln322xC(132)32dxx12例求.de2xxx解将被积分式中的xdx因子凑微分,.212xxxdd则2de21de22xxxxxCx2e21经求导验算,.ee2122xxxC结果正确.即即例求.dlnxxx解因子将被积分式中的d1xx).lnd(d1xxx凑微分,即则xxxdlnxxlndln.ln212Cx例求.)ln21(1dxxx解1(12ln)dxxx)(lnln211xdx)ln21(ln21121xdxxuln21duu121Culn21.)ln21ln(21Cx因子将被积分式中的d1xx凑微分,即).lnd(d1xxx2xedx练习2(2)xedx1()22xdxdx()2xd2()2xdxd22xCe221.sinxxdx求12.12dxx求练习21.sinxxdx求解原式22sin2xdx221sin2xxd21cos2Cx2sinxxxd答案12.12dxx求解原式1ln122xC11(12)212dxx答案利用三角函数的恒等式.例求.dtanxx解xxdtan.|cos|lnCxxcosxsinxdxcosxcosd例求2sincosxxdx原式2sicosnxxxd2cocossxdx()31(cos)3xC解说明(),(),(,),,,xdxmxdxnxxdxmnmnmn形如sin为正奇数cos为正奇数sincos中有一个正奇数形式的积分在计算时可从奇次幂中取出一个凑微余下的正偶次变形.sincos,sinsin解决mxnxdxmxnxdxcoscosmxnxdx类型的积分.利用积化和差公式和凑微法很简单的几步就可解决此类不定积分积化和差1sinsin[cos()cos()]21sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]2例求sin3cos4xxdx1(sin7sin)2xxdx原式11sin7sin22xdxxdx解7711sin14cos2xxxCd1cos4s2711coxxC解cos3cos2xxdx求1coscos[cos()cos()],2ABABAB1cos3cos2(coscos5),2xxxx1cos3cos2(coscos5)2xxdxxxdx11sinsin5.210xxC练习有些题并不能直接利用凑微法,需要经过变形之后才能利用凑微法。例求11xdxe解11xdxe11xxxeedxe(1)1xxedxe1xxxeedxd1(1)1xxdxdeeln1ln(1).xxxeCxeC例求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx221)1(2111CxCx.)1(21112Cxx例求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa例求22dxax(a0常数).解22dxax))((dxaxaxxxaxaxaxaad))(()()(21xaxxaxadd21.ln21CxaxaaCxaxaaxaxln21d22xaxaxaxaa)(d)(d21小结用第一换元积分法求不定积分的步骤是:uufxx'xfxx'uxuxx'xfd)(d)()(d)(d),(d)()(.1,于是有作变量代换,令的形式,若能将被积表达式化为换元.)(d)()()()()(.2CuFuufufu'FuFufu则,,使得得易积分的,即如果易求是容,若被积函数为换元后的积分变量是积分.)()()(.3CxFxCuFxu的函数,即得答案为积分变量中,还原为原代入已求出的把还原上述过程可表示为:第一类换元积分法(凑微分法)在积分计算中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循,只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法,需要熟记一些函数的微分公式,要善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形,并凑出合适的微分因子。
本文标题:5.3(1)第一类换元积分法-凑微分
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