二式系数的性质

二项式系数的性质湖南省临湘市一中李君英复习1。什么叫二项式定理？通项公式？1CrnrrrnTab2。什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？011()CCCCnnnrnrrnnnnnnabaababb*nN(a+b)1………………………11(a+b)2…………………121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………………………nab展开式的二项式系数11121133114641151010511615201561………………………1.每行两端都是１，与首末两端“等距离”的两个数相等2.每行除首末两数外,其它各数是上一行肩上两个数的和01C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C06C16C26C36C46C56C66C0Cn1Cn2CnCrn-2Cnn-1CnnCnn11121133114641151010511615201561…………1ab6ab2ab3ab4ab5abnab………………CCmnmnn11CCCmmmnnn这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。第5行1551第0行1杨辉三角第1行11第2行121第3行1331第4行141第6行161561第n-1行111Cn121Cn11Crn1Crn21Cnn第n行11Cn12Cn1Cnn………………………………15201010640)(ba1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(banba)(111CCCrrrnnnCrn15511111211331141161561111Cn121Cn11Crn1Crn21Cnn11Cn12Cn1Cnn………………………………1520101064Crn1.哪一项的二项式系数最大?2.各项二项式系数的和有什么特点?3.奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和有什么关系?nab展开式的二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nab012CCCCnnnnn,,,,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：Crnfrn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．CCmnmnn图象的对称轴：2nr二项式系数的性质（2）增减性与最大值1121C1!1Cknknnnnnkkknkk由于：所以相对于的增减情况由决定．Ckn1Ckn1nkk（2）增减性与最大值由：1112nknkk二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。12nk可知，当时，（2）增减性与最大值因此，当n为偶数时，中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、12Cnn12Cnn相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1ab012CCCC2nnnnnn这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nab2n同时由于，上式还可以写成：1C0n123CCCC21nnnnnn这是组合总数公式．当n是奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值。12Cnn12Cnn(1)对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)增减性与最大值(3)各二项式系数和0122CCCCnnnnnn当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。21nk当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；2Cnn二项式系数的性质例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．nab证明：在展开式01()CCCCnnnrnrrnnnnnnabaababb中,令a=1,b=-1,则得0123(11)(1)CCCCCnnnnnnnn02130()()CCCCnnnn即0213CCCCnnnn即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和nab例2的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项12nx解:556C2,nTx667C2nTx5566C2C2nn8n44458C21120Txx11881188C2C2C2C2rrrrrrrr56r5,r6r561792,Tx671792Tx812x的展开式中二项式系数最大的项为设第r+1项系数最大,则有或∴系数最大的项为3.(x﹣1)9的展开式中系数最大的项是（）(A)第五项(B)第六项（C）第八项(D)第九项一层练习4.(1﹣x)13的展开式中系数最小的项是（）(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项CA1.（1+x）4n（n∈N*）的展开式中，二项式系数最大的项是____________________第2n+1项2.(a+b)10的各二项式系数的最大值是.252C5105.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）(A)20(B)219（C）220(D)220－1D4或56.若与同时有最大值,则m=_______________19CnCmn139101010CCC____________7.计算29=51201201211111CC+C+C____________CC+C+Cnnnnnnnnnn128.（1-2x）n（n∈N*）的展开式中,各系数的和是（）A.1B.2nC.-1D.1或-1D9.(1-5x+2x2)7的展开式中所有项系数和是.-2710.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数和是（）A.2n+1-2B.2n+1-1C.2n+1D.2n+1+1A4.已知的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。431nxx解：依题意，为偶数，且n110182n,n,418444454118313060TTCxxx变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？5.已知a,b∈N，m,n∈Z，且2m+n=0，如果二项式(axm+bxn)12的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求a:b的取值范围。nrrmrrrrnrmrrxbaCbxaxCT)12(121212121)()(解：令m(12–r)+nr=0，将n=﹣2m代入，解得r=4故T5为常数项，且系数最大。的系数的系数的系数的系数6545TTTT57512484123931248412baCbaCbaCbaC即4958ba解得例4若求:1271aaa(1)令x=0,则a0=-1解析:令x=1,则776102128aaaa127129aaa7767610(31)xaxaxaxa13572aaaa02463aaaa13572aaaa例4若求:(2)令x=-1,则7765432104aaaaaaaa76543210128aaaaaaaa又713571128482562aaaa解析:7767610(31)xaxaxaxa02463aaaa例4若7767610(31)xaxaxaxa求:解析:(3)由得702461128481282aaaa7765432104aaaaaaaa76543210128aaaaaaaa727012712713570246(12)____________________________________xaaxaxaxaaaaaaaaaaa-2-10941093二层练习1.已知则注:二项式定理是一个恒等式,对待恒等式通常有两种思路:一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等);一是赋值,事实上,二项式定理结合恒等与赋值两条思路可使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解211910101910(1)(1)(1),xxaaxaxax2.若多项式则9______________a-103.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是____________3213nxx31x21方法归纳1.求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;n为偶数时,中间一项的二项式系数最大2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式,解不等式的方法求得.3.求系数和的基本思路利用恒等式的意义,采用赋值法进行求解.一般地,对于多项式它的各项的系数和为2012nnngxpxqaaxaxax1g奇数项的系数和为偶数项的系数和为1112gg1112gg课堂小结（1）二项式系数的三个性质（2）数学思想：函数思想a单调性；b图象；c最值。（3）数学方法：赋值法、递推法各二项式系数的和增减性与最大值对称性研究题：若则展开式中最大的项是哪一项?其值是多少?1,3x1023x解：设最大项为，则：1kT112kkkkTTTTk10k-11111010k10k+1191010C(3)2C(3)2C(3)2C(3)2kkkkkkkkxxxx即k10k+191010k10k-1111010C2C2C2C2kkkk118113,,38333kkkk则展开式中最大项为7343110215360.TTC第0行1第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行11第2行121第3行1331第4行14641……如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列杨辉三角第6行1615201561第5行15101051第4行14641第0行1第1行11第7行172135352171第2行121第3行1331……第8行18285670562881++++++++++++++++++++++1121CCCCCmmmmmmmmnn将杨辉三角中的每一个数都换成分数，Crn1+1Crnn就得到一个如右图所示的分数三角形