圆周运动绳杆模型

一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型1．模型概述在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．2．临界问题分析物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如下：轻绳模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球能运动即可得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点vgr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0vgr时，－FN支＋mg＝mv2r，FN背向圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，FN＝0(4)当vgr时，FN拉＋mg＝mv2r，FN指向圆心并随v的增大而增大(2013·长春模拟)如右图所示，质量为m的小球置于方形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内以O点为圆心做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计．求：(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动，则当盒子运动到如图所示(球心与O点位于同一水平面上)时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？【思维启迪】mg＝mR(2πT0)2→周期T0→T′＝T02→F′向＝mR(2πT′)2→盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力【尝试解答】(1)设盒子的运动周期为T0.因为在最高点时盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得mg＝mR(2πT0)2解之得T0＝2πRg(2)设此时盒子的运动周期为T，则小球的向心加速度为a0＝4π2T2R由第(1)问知T0＝2πRg且T＝T02由上述三式知a0＝4g设小球受盒子右侧面的作用力为F，受上侧面的作用力为FN，根据牛顿运动定律知在水平方向上F＝ma0即F＝4mg在竖直方向上FN＋mg＝0即FN＝－mg因为F为正值、FN为负值，由牛顿第三定律知小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg.【答案】(1)2πRg(2)小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg在判断盒子对小球的作用力的大小和方向时，可以首先做出假设，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后根据结果的符号判断力的真实方向．在2012年第30届伦敦奥运会体操男团中国队卫晟冠军．如右图张成龙在单杆比赛中正完成一个单臂回环动作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠1.60米，体重大约56公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求：(1)张成龙在最低点应以多大的速度才能达到如图效果；(2)张成龙在最高、最低点时对杠的作用力．解析：根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为v，最高点最小速度为零，由最低点到最高点则mgh＝12mv2，h＝2l，所以v＝2gh＝2gl＝8m/s.(2)在最高点张成龙处于静止状态，故对杠的压力等于重力FN＝mg＝560N，在最低点做圆周运动．设杠对张成龙的作用力为FN′，则FN′－mg＝mv2l，故FN′＝mg＋mv2l＝560N＋56×821.6N＝2800N，由牛顿第三定律，张成龙对杆的作用力大小为2800N.答案：(1)8m/s(2)560N2800N