1.7定积分的简单应用

badxxfA)(badxxfxfA)]()([121.平面图形的面积:()()|()()bbaafxdxFxFbFa[其中F´(x)=f(x)]xyo)(xfyabAxyo)(1xfy)(2xfyabA2.微积分基本定理:一、复习Oxyabyf(x)xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、当f(x)0时积分baf(x)dx在几何上表示由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形面积的负值xyOabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。Sbaf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。=s3.定积分的几何意义:()bafxdx巩固练习：较为复杂的积分求解：(1)23(x＋1x)2dx；221232xxdxx2204sinxdx3210331xdxx12205xedx3162xdx分段函数定积分的求解：3fx若201xx10xx11fxdx求1.7定积分的简单应用定积分在几何中的应用几种典型的平面图形面积的计算：类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(|)3(badxxfS)()1(badxxfS)()2((2)xyoabc)(xfy(3)(1)xyo)(xfyab练习.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。yx解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：所以：112212)1()1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积Syxoba)(xfy)(xgy(2))(xfy)(xgy(1)总结：当x∈[a，b]有f(x)g(x)时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝.bafxgxdx注：例1.计算由两条抛物线xy2和2xy围成图形的面积.解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:即两曲线的交点为(0,0),(1,1)120S=(x-x)dx323102()|33xx.31边边曲梯形OABC曲梯形OABDS=S-Soxy2yx2yx2xyyxABCDO11200xdxxdx11002yxyxxyxy或解方程组两曲线围成的平面图形的面积的计算求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)(3)确定积分变量及被积函数;(4)列式求解.例2.计算由曲线2yx，直线4xy以及x轴所围成的图形的面积.2:{,4yxyxx=8y=4解方程组得直线y=x-4与x轴交点为(4,0)88042(4)xdxxdx488120442[2(4)]SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx382820422140|(4)|323xxx2yx4xy解:作出y=x-4,的图象如图所示:2yxS1S280124(84)2sxdx382022|83x22401628334201[(4)]2syydy234011(4)|26yyy2311404444263练习1：计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解1求两曲线的交点:).4,8(),2,2(422xyxyxy224xy8281202222(24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx33228220242221166426|(4)|18332333xxxx280222(24)xdxxxdx2练习2:计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解:求两曲线的交点:(0,0),(2,4),(3,9).236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6)xAxxdx2xyxxy63于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．2xyxxy631A2A定积分在物理中的应用Oab()vvttv设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为()basvtdt1、变速直线运动的路程:1.73.1min.例一辆汽车的速度时间曲线如图所示求汽车在这行驶的路程o102030405060102030CBAs/ts/m/v37.1图o102030405060102030CBAs/ts/m/v37.1图:时间曲线可知由速度解.60t40,90t5.1;40t10,30;10t0,t3tv:min1程是行驶的路因此汽车在这dt90t5.1dt30tdt3S60404010100.m1350t90t43t30t236040240101002.m1350min1行驶的路程是汽车在这答•法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即30603013502s2.变力做功.FsWF),m:(sF,N:F所作的功为则力单位相同的方向移动了果物体沿着与力如的作用下做直线运动单位一物体在恒力变力所做的功：物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移动到x=b（ab），那么变力Ｆ（x）所作的功()baWFxdxOab()yFxxFlQF47.1图11.74,,,.lm例：如图在弹性限度内将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处求弹力所作的功.k,kxxF,xxF)(,是比例系数数其中常即成正比的长度或压缩弹簧拉伸与弹簧所需的力压缩或拉伸在弹性限度内解.2121,2020JklkxkxdxWll得由变力作功公式.212Jkl克服弹力所作的功为答例2：一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式：确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作用下，沿着r轴方向从r=a到r=b（ab），求电场力对它所作的功。2qFkr解:roqab1r由题意,所求功为drrkqwba2barkq1.11bakq练习:1.如果1N力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,克服弹力所作的功为()(A)0.18J(B)0.26J(C)0.12J(D)0.28J2.一物体在力10(02)()34(2)xFxxx≤≤(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),则力F(x)所作的功为()J(A)44(B)46(C)48(D)503.一物体以速度2()2vtt(m/s)作直线运动,媒质的阻力F(N)与速度v(m/s)的关系为20.7Fv,试求在时刻0t(s)到2t(s)这段时间内阻力做的功.AB102.4J3.一物体以速度2()2vtt(m/s)作直线运动,媒质的阻力F(N)与速度v(m/s)的关系为20.7Fv,试求在时刻0t(s)到2t(s)这段时间内阻力做的功.解:媒质的阻力为20.7Fv=42.8t取一小段时间,ttt△这一小段时间内阻力做的功为WFvt△△∴在时刻0t(s)到2t(s)这段时间内阻力做的功为20WFvdt=2605.6tdt=102.4J答:在时刻0t(s)到2t(s)这段时间内阻力做的功为102.4J