弯曲应力 材料力学PPT课件

1材料力学南京航空航天大学陶秋帆等第五章弯曲应力2第五章弯曲应力本章内容:1纯弯曲2纯弯曲时的正应力3横力弯曲时的正应力4弯曲切应力5*关于弯曲理论的基本假设6提高弯曲强度的措施34§5.1纯弯曲横力弯曲梁的横截面上同时有弯矩和剪力的弯曲。纯弯曲梁的横截面上只有弯矩时的弯曲。横截面上只有正应力而无切应力。纯弯曲的变形特征5纯弯曲的变形特征6纯弯曲的变形特征基本假设1:平面假设变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线。中性层与中性轴基本假设2:纵向纤维无挤压假设纵向纤维间无正应力。7中性层与中性轴8§5.2纯弯曲时的正应力1变形几何关系取坐标系如图，z轴为中性轴；y轴为对称轴。纵向线bb变形后的长度为:bb(+y)d纵向线bb变形前的长度为求出距中性层y处的应变，取长dx的梁段研究:中性层长度不变,所以有:9纵向线bb的应变为(+y)dddy即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。纵向线bb变形后的长度为:bb(+y)dbb变形前的长度中性层长度不变,所以bbOOOOd102物理关系因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:EyE即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。3静力关系11NMz3静力关系MyN+AdAMy+AzdAMz+AydA对横截面上的内力系，有:由梁段的平衡有:X0my0mz0N0My0MzM+ydA0+EdA0N+AdAMy+AzdAMz+AydA由梁段的平衡有:N0,My0,MzM对横截面上的内力系，有:所以N+AdA0EA+AyAydA0Sz0z轴通过形心。即：中性轴通过形心。1213My+AzdA,Mz+AydAMy0,MzM由N+AdA0zdA0E+AyyzdA0+A中性轴通过形心。+A由MyzdA0因为y轴是对称轴，上式自然满足。即：Iyz0ydA14My+AzdA,Mz+AydAMy0,MzM由梁的抗弯刚度MzM+AydAM+AEy+AydA2EIzEMEIz1y将上式代入EMyIz15形（横力弯曲）？MyIz纯弯曲时正应力公式公式的适用性由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况。公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情§5.3横力弯曲时的正应力横力弯曲时，横截面上有切应力平面假设不再成立此外,横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.由弹性力学的理论，有结论：当梁的长度l与横截面的高度h的比值:lh5则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力有足够的精度。l/h5的梁称为细长梁。1617最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。MmaxymaxIzmax引入符号：IzymaxW则有：MmaxWmax抗弯截面系数NmaxA比较拉压:maxTmaxWt扭转:maxbhdbhd18两种常用截面的抗弯截面系数矩形截面,312Izh2ymaxW圆形截面4Iz64Wd226,ymax332弯曲强度条件注意：当截面变化时，还需综合考虑W的值。19MmaxWmax[]20例1(书例5.1)已知：板长3a=150mm，材料的许用应力[]=140MPa。求：最大允许压紧力P。解：压板可简化为如图的外伸梁。由微分关系，AC段、BC段的弯矩图为斜直线。(1)求弯矩图21由微分关系，AC段、BC段的弯矩图为斜直线。(1)求弯矩图作出弯矩图。(2)确定危险截面MmaxMBPa且B截面最薄弱。B为危险截面。(3)计算B截面W0.03×0.020.014×0.021.07×10m1.07×10Iz1.07×10m22MmaxMBPa(3)计算B截面WB为危险截面。看成组合物体IzIz1Iz2123123884ymax1×10W263W1.07×10m1.07×10×140×105×1023MmaxMBPa63(3)计算B截面WB为危险截面。MmaxW(4)由强度条件计算Pmax[]MmaxW[]PaW[]W[]aP2863kN24例2(书例5.2)已知：[]=100MPa，P=25.3kN。求：校核心轴的强度。解：计算简图如图。(1)求弯矩图支反力RA23.6kN,RB27kN25(1)求弯矩图(2)确定危险截面I截面II截面III截面RA23.6kNRB27kN(3)强度校核I截面支反力MIMmax4.72kNmd×(95×10)84.1×10m26(3)强度校核I截面MIMmax4.72kNm31323233WI36MIWII56.1MPa[]II截面MII3.42kNmd×(85×10)60.3×10m2732323233WII36MIIWIIII56.7MPa[]III截面II截面MII3.42kNmMIII4.64kNm3d)1088(××IIIMPa4.69][28III截面323WIII323366.9×106m3MIIIWIIIMIII4.64kNm结论满足强度要求。注意最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。29例3(书例5.3)已知：T形截面铸铁梁，[t]=30MPa，[c]=160MPa。Iz=763cm4,且|y1|=52mm。求：校核梁的强度。解：(1)求弯矩图支反力RA2.5kN,RB10.5kN作出弯矩图30(1)求弯矩图支反力RA2.5kN,RB10.5kN作出弯矩图最大正弯矩为:MC2.5kNm最大负弯矩为:MB4kNm(2)确定危险截面B截面C截面31(2)确定危险截面B截面C截面最大正弯矩为:MC2.5kNm最大负弯矩为:MB4kNm(3)强度校核B截面MMBy1Iz27.2MPa[t]30MPaMBy2Iz1c46.2MPa[c]160MPa1c46.2MPa2t28.8MPa[t]30MPa32(3)强度校核B截面MMBy1Iz27.2MPaMBy2IzC截面显然，2c1cMCy2IzM结论满足强度要求。§5.4弯曲切应力横力弯曲时,横截面上既有正应力,又有切应力。推导切应力公式的方法：假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件求出1矩形截面梁切应力。按截面形状，分别讨论。切应力分布假设(1)各点切应力方向平行于剪力Q;331矩形截面梁切应力分布假设(1)各点切应力方向平行于剪力Q;(2)切应力沿宽度均匀分布。用平衡条件导出切应力公式取研究对象3435用平衡条件导出切应力公式取研究对象36由切应力互等定理右截面上的N2N2+A1dAA1为右截面pn1的面积。(M+dM)y1Iz右截面正应力为:右截面上的N2N2+A1dAIzdAA1(M+dM)(M+dM)*SzIzIz*z37其中:S38右截面上的N2(M+dM)*SzIz+A1*zy1dA左截面上的N1同理可得:N1上表面上的dQ'M*SzIzdQbdxdQ'x方向平衡条件X0N2N1dQ0N2N1dQ'(M+dM)*SzIzM*SzIzdQbdxx方向平衡条件zzX0N2N1dQ0(M+dM)S*MS*bdx0*Szbdx039Szbdx0QdMSQSzQS40dQ'dM*Iz由微分关系*zdxIzbdMdx*Izb由切应力互等定理，得*zIzb计算Sz*QSSA1y1b(y)(+y)bhSzy)(Qhy)由切应力互等定理，得*zIzb计算Sz*可用公式*z*h1h222224h1h222*22412所以：(2Iz4Sbhy)Qhy)4222(24*z(222Iz4所以：切应力分布切应力沿截面高度按抛物线规律变化。距中性层y处的切应力公式Qh28Iz在上下边缘处0在中性层处maxbh312因为Iz3Q2bhmax432在中性层处max8Iz3因为Izmax122bh即：最大切应力是平均剪应力的1.5倍。2工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。腹板的切应力腹板是矩形，切应力公式同矩形截面梁。QSSB()[+()]+b(y)[y+(y)]442工字形截面梁腹板的切应力腹板是矩形，切应力公式同*zIzb矩形截面梁:计算Sz**zH2h2hh1H2222h1h222SB()[+()]bh(Hh)+(y)QBbh[(Hh)+(y)]45计算Sz**zH2h2hh1H2222h1h222222422B8则，距中性层y处的切应力公式为:2222Izb824切应力分布如图。QBbh[(Hh)+(y)]hBh46距中性层y处的切应力公式为:2222Izb824切应力分布如图。最大切应力发生在中性轴处]282QBH[Izb8(Bb)max最小切应力发生在y=±h/2处)822QBH(Izb8minhBh47最大切应力发生在中性轴处]282QBH[Izb8(Bb)max最小切应力发生在y=±h/2处)822QBH(Izb8min腹板切应力的近似公式因为:(1)腹板切应力近似为均匀分布;(2)腹板负担了绝大部分剪力。近似公式:Qhb48腹板切应力的近似公式因为:(1)腹板切应力近似为均匀分布;(2)腹板负担了绝大部分剪力。近似公式:Qhb翼缘的切应力特点(1)除了有平行于剪力Q的切应力分量外，还有与剪力Q垂直的切应力分量；(2)切应力数值与腹板的切应力相比较小。3圆形截面梁切应力分布的特点(1)边缘各点的切应力与圆周相切；(2)y轴上各点的切应力沿y轴。假设(1)AB弦上各点的切应力作用线通过同一点p；(2)AB弦上各点的切应力沿y轴的分量y相等。*z49QSSR2S2350所以，对y可用矩形截面梁的*zIzby公式式中，b为AB弦的长度，Sz*为AB弦以外的面积对z轴的静矩。最大切应力最大切应力发生在中性轴上。中性轴上的切应力的方向？*124R3z中性轴处b2R3R*zQSSzRDSzR2351*122最大切应力是平均切应力的1.33倍。中性轴处b2R*zIzby24Q3Rmax4R3464Iz3R4*4524弯曲切应力强度条件强度条件弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：正应力最大处，切应力为零，是单向拉压状态；切应力最大处，正应力为零，是纯剪切状态。QmaxSPSz53弯曲切应力强度条件为*zmaxIzbmax[]实心截面梁正应力与切应力的比较PlWzmax*Izbmax正应力最大处，切应力为零，是单向拉压状态；切应力最大处，正应力为零，是纯剪切状态。PS54实心截面梁正应力与切应力的比较PlWzmax*zIzb,max对矩形截面梁lhld46maxmax对圆形截面梁maxmax55对矩形截面梁对圆形截面梁lhld46maxmaxmaxmax所以，对实心截面梁通常不需要校核剪切强度。需要校核剪切强度几种情况(1)弯矩较小而剪力很大的情况：短粗梁，或在支座附近作用有较大的集中力；(2)非标准的腹板较高且较薄的工字梁；(3)梁上的焊缝、铆钉或胶合面。56例1(书例5.4)已知：由木板胶合而成的梁。求：胶合面上沿x方向单位长度的剪力。解：无法直接用公式。取一微段：与推导剪应力公式的方法相同，有1dMS1QSz57取一微段：与推导切应