2014版高考数学一轮总复习 第65讲 二项式定理课件 理 新人教A版

1.掌握二项式定理及其通项公式，并会利用二项式定理及其通项公式解决有关多项式化简和展开式的项或项的系数相关的问题.2.掌握二项式系数的相关性质，会求展开式的系数和，能利用二项式定理进行近似计算、证明整除问题，证明不等式等综合问题.1.二项式定理(a+b)n=①..这个公式所表示的定理叫做②,右边的多项式叫做(a+b)n的③.特别地,(1±x)n=④.2.展开式的特点(1)共有⑤项.an+an-1b1+an-2b2+…+an-rbr+…+bn(n∈N*)0nC1nC2nCrnCnnC二项式定理展开式1±x+x2±…+(±1)nxn1nC2nCnnCn+1(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数⑥,即a与b的指数和为n.(3)字母a按⑦排列，从第一项开始，次数由⑧逐项减1直到⑨,字母b按⑩排列,从第一项起,次数由逐项增1直到.(4)二项式的系数依次为,,…,,.3.二项式的展开式的通项二项式展开式的第r+1项是Tr+1=.n降幂n零升幂11零12n0nC1nC1nnCnnC13an-rbrrnC4.二项式系数与展开式的系数第r+1项的二项式系数即,而展开式的第r+1项系数是该项的(含项的性质符号)，是两个不同的概念.5.二项式系数的性质(1)二项式系数的结构规律和等量关系.在二项展开式中,与首末两端“”的两项的二项式系数相等,即.14rnC15常数部分等距离1617rnrnnCC(2)二项式系数的大小规律.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项即的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数;中间两项即与的二项式系数相等且最大.(3)二项式系数的和.当n为偶数时,＋++…+=.当n为奇数时,+++…+=.1812nT1912nT20112nT210122nnnnnnCCCC0nC2nC4nCnnC22135112nnnnnnCCCC0nC2nC4nC1nnC2313512nnnnnnCCCC1.C1n＋3C2n＋9C3n＋…＋3n－1Cnn等于()A．4nB．3·4nC.4n3－1D.4n－13【解析】设Sn＝C1n＋3C2n＋…＋3n－1Cnn，3Sn＝3C1n＋32C2n＋…＋3nCnn＝C0n＋3C1n＋32C2n＋…＋3nCnn－1＝(1＋3)n－1＝4n－1，所以Sn＝4n－13.【点评】构造二项式展开式的结构再逆用公式．2.(31a－3a2)n的展开式中倒数第三项的二项式系数是45，则展开式中含有3a2的项的系数是()A．210B．120C．28D．21【解析】由已知，得C2n＝45，n＝10，Tr＋1＝(－1)rCr10a－103＋r.令－103＋r＝23，得r＝4.T5的系数为C410＝210.故选A.【点评】注意二项式展开式的通项公式的应用．3.(1＋2x2)(x－1x)8的展开式中常数项为－42.【解析】由(x－1x)8，得Tr＋1＝Cr8x8－r(－1x)r＝(－1)r·Cr8x8－2r.令8－2r＝0⇒r＝4，得(x－1x)8展开式中常数项为C48＝70；再令8－2r＝－2⇒r＝5，得(x－1x)8展开式中的含1x2项系数为(－1)5C58＝－56.那么，(1＋2x2)(x－1x)8展开式中常数项为70－2×56＝－42.4.若(x3＋1x2)n的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x的项为()A．462B．252C．210D．10【解析】由题意，n＝10，Tr＋1＝Cr10(x3)10－r·(1x2)r＝Cr10·x30－3r·x－2r＝Cr10·x30－5r，令30－5r＝0，得r＝6，所以不含x的项为第7项，从而T7＝C610＝C410＝210，应选C.5.若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝1.【解析】(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋an)＝(2＋3)4·(－2＋3)4＝1.↑↑(x＝1时)(x＝－1时)一利用二项式的通项公式求项数和特殊项【例1】(1)(x－3x)9展开式中的有理项是__________；(2)若(2x－1x)n的展开式中含1x2项的系数与含1x4的系数之比为－5，则n等于____________．(3)(1＋x)6(1－x)4的展开式中含x3项的系数是_______．【分析】先明确展开式中的有理项，即x的指数为整数的项．【解析】（1）Tr＋1＝Cr9·(x12)9－r·(－x13)r＝(－1)r·Cr9·x27－r6.令27－r6∈Z，即4＋3－r6∈Z，且0≤r≤9，所以r＝3或r＝9.当r＝3时，27－r6＝4，T4＝(－1)3·C39·x4＝－84x4，当r＝9时，27－r6＝3，T4＝(－1)9·C99·x3＝－x3.(2)因为Tr＋1＝Crn(2x)n－r(－1x)r＝(－1)r·Crn2n－rxn－2r.令n－2r＝－2，得r＝n2＋1；n－2r＝－4，得r＝n2＋2.由已知得[Cn2＋1n(－1)n2＋12n2－1]÷[Cn2＋2n(－1)n2＋2·2n2－2]＝－5，解之得n＝6.(3)(1＋x)6(1－x)4＝(1＋6x＋15x2＋20x3＋…)·(1－4x＋6x2－4x3＋…)，所以x3的系数等于1×(－4)＋6×6＋15×(－4)＋20×1＝－8.【点评】二项式定理及其通项公式的应用是本节的重点，要求考生会求二项展开式，展开式的有理项等特定项，这也是二项式定理的常见考查形式．设a＞0，若(1＋ax12)n展开式中含x2的项的系数等于含x的项的系数的9倍，且展开式中含x的项的系数为135，求a的值．素材1【解析】Tr＋1＝Crn(ax12)r＝Crnarxr2，所以C4na4＝9C2na2C2na2x＝135x，所以nn－1n－2n－34！a2＝9nn－12！nn－12！a2＝135，即n－2n－3a2＝108nn－1a2＝270，所以n－2n－3nn－1＝25，化简得3n2－23n＋30＝0.解得n＝53(舍去)或n＝6，a2＝27030＝9，所以a＝3.二展开式系数和问题及求法【例2】(1)(1－x＋x2)3(1－2x2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a14x14，则a1＋a3＋a5＋…＋a13的值为__________；(2)已知(x＋1)2(x＋2)2011＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a2013(x＋2)2013，则a12＋a222＋a323＋…＋a201322013的值为__________．【分析】此题考查的二次项的系数，赋值法是解题的关键，所求的是奇次项系数的和，f(1)，f(－1)差的一半即为所求．【解析】（1）设f(x)＝(1－x＋x2)3(1－2x2)4.令x分别取1，－1，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝1；f(－1)＝a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝27.a1＋a3＋a5＋…＋a13＝f1－f－12＝1－272＝－13.(2)依题意令x＝－32，得(－32＋1)2(－32＋2)2011＝a0＋a1(－32＋2)＋a2(－32＋2)2＋…＋a2013(－32＋2)2013，又a0＝0，则a12＋a222＋a323＋…＋a201322013＝(12)2013.【点评】有关二项式系数和的问题，通常是应用赋值法求解，同时，赋值时一定要分析已知与待求式特征恰当取值化归．已知(3x2＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项．素材2【解析】令x＝1，得各项的系数和为(1＋3)n＝4n，而各项的二项式系数和为C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n，所以4n＝2n＋992.所以2n＝32(2n＝－31舍去)，所以n＝5.设第r＋1项的系数最大，则Cr53r≥Cr－153r－1Cr53r≥Cr＋153r＋1，即3r≥16－r15－r≥3r＋1，所以72≤r≤92，又r∈Z，所以r＝4，所以系数最大的项是T4＋1＝C45x23(3x2)4＝405x263.【点评】求系数最大的项，常用待定系数法，通过解不等式组tr＋1≥trtr＋1≥tr＋2确定r.三二项式定理的综合应用(证明恒等式、不等式、整除问题)【例3】(1)求9192除以100的余数；(2)设a1，n∈N且n≥2，求证：na－1a－1n.【解析】(1)方法1：9192＝(100－9)92＝10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…－C9192·100·991＋992.前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数．因为992＝(10－1)92＝1092－C192·1091＋C292·1090－…＋C9092·102－C9192·10＋(－1)92＝1092－C192·1091＋…＋C9092·102－920＋1＝(1092－C192·1091＋…＋C9092·102－1000)＋81.所以被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.方法2：因为9192＝(90＋1)92＝C092·9092＋C192·9091＋…＋C9092·902＋C9192·90＋1.由于前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9192·90＋1＝8281＝8200＋81，所以被100除的余数为81.(2)设na－1＝x，则(x＋1)n＝a.欲证原不等式，即证nx(x＋1)n－1，其中x0，n∈N且n≥2.(x＋1)n＝C0nxn＋C1nxn－1＋…＋Cn－1nx＋1Cn－1nx＋1，即(x＋1)nnx＋1，原不等式成立．【点评】由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来达到放缩，从而证明不等式问题，而对于整除问题，关键是拆成两项后利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除．已知a，b为正整数，且1a＋1b＝1，试证明：对每一个n∈N*，都有(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1.素材3【分析】本题创新点在于综合性强，要灵活运用二项式定理的展开式和不等式的均值定理．【解析】由1a＋1b＝1，得a＋b＝ab.又a＋b≥2ab，所以ab－2ab≥0，所以ab≥4.①(a＋b)n－an－bn＝C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cn－1nabn－1＝C1nabn－1＋C2na2bn－2＋…＋Cn－1nan－1b＝C1nan－1b＋abn－12＋C2nan－2b2＋a2bn－22＋…＋Cn－1nabn－1＋an－1b2≥(C1n＋C2n＋…＋Cn－1n)anbn.②将①代入②得，＝(2n－2)•2n＝22n－2n＋1.所以命题成立．【点评】二项式定的应用主要是通过构建二项式定理的模型来完成的，本题巧妙地将二项式和不等式的知识结合在一起，同时也考查了C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，a，b∈R＋时有a＋b2≥ab及逆向思维的数学思想方法．备选例题若n∈N且n＞1，求证：2＜(1＋1n)n＜3.【解析】(1＋1n)n＝1＋C1n·1n＋C2n·1n2＋…＋Cnn·1nn＞1＋C1n·1n＝2.又(1＋1n)n＝2＋nn－1n2＋nn－1n－2n3＋…＋nn－1n－2…2·1nnn！！！＜2＋12！＋13！＋…＋1n＜2＋12＋122＋…＋12n－1＝2＋121－12n－11－12＝3－12n－1＜3，故原不等式成立．！1.二项式定理的应用常见的问题有：求展开式的某一项或适合某种条件的项；求展开式各项系数的和；取二项展开式的前几项进行近似计算；证明组合数等式；整数与整式的整除问题;证明不等式.因此必须牢固掌握二项展开式及其通项公式的结构与特征、二项式系数的性质等基本理论.2.关注二项式定理问题“四大热点、六条