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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 管理学资料 > 2015-2016学年高中数学 1.1.2余弦定理课件 新人教A版必修5
1.1.2余弦定理学习目标预习导学典例精析栏目链接掌握余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.学习目标预习导学典例精析栏目链接题型1已知两边及其一角解三角形学习目标预习导学典例精析栏目链接例1△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,解此三角形.解析:方法一由余弦定理b2=a2+c2-2accosB.得32=a2+(33)2-2a×33×cos30°,∴a2-9a+18=0,得a=3或6.当a=3时,A=30°,∴C=120°.当a=6时,由正弦定理sinA=asinBb=6×123=1.∴A=90°,∴C=60°.学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二由b<c,B=30°;由b>csin30°=33×12=332知本题有两解.由正弦定理sinC=csinBb=33×123=32,∴C=60°或120°.当C=60°时,A=90°,由勾股定理得:a=b2+c2=32+(33)2=6,当C=120°时,A=30°,△ABC为等腰三角形,∴a=3.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评:已知两边及其中一边的对角解三角形的方法:(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角,用三角形的内角和定理求出第三角,再用正弦定理求出第三边,要注意判断解的情况.(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边长.这样可免去取舍解的麻烦.学习目标预习导学典例精析栏目链接1.已知△ABC中,A=120°,b=3,c=5,则求边a=________.解析:因为A=120°,b=3,c=5,所以根据余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×cos120°=49,所以a=7.答案:7学习目标预习导学典例精析栏目链接2.在△ABC中,A=30°,AB=2,BC=1,求AC.解析:由余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos30°,∴AC2-23AC+3=0,∴AC=3.题型2已知三边解三角形学习目标预习导学典例精析栏目链接例2已知△ABC中,a∶b∶c=2∶6∶(3+1),求△ABC的各内角度数.分析:由比例的性质可以引入一个字母k,用k表示a、b、c,再由余弦定理求解各角.解析:∵a∶b∶c=2∶6∶(3+1),∴令a=2k,b=6k,c=(3+1)k.学习目标预习导学典例精析栏目链接由余弦定理,有cosA=b2+c2-a22bc=6k2+(3+1)2k2-4k22·6k·(3+1)k=22,∴A=45°.cosB=a2+c2-b22ac=4k2+(3+1)2k2-6k22×2k(3+1)k=12,∴B=60°.∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评:1.本题已知的是三边的关系,设出三边的大小是解题的关键.2.已知三边解三角形的方法:先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或余弦定理求出另一角,最后用三角形的内角和定理求第三角.学习目标预习导学典例精析栏目链接3.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,求三边的长.解析:由a-b=4,a+c=2b得a=b+4.c=b-4.∴a>b>c,∴a2=b2+c2-2bccos120°,即(b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)×-12,即b2-10b=0.解得b=0(舍去)或b=10,此时a=14,c=6.学习目标预习导学典例精析栏目链接题型3判断三角形的形状例2在△ABC中,已知c=acosB,b=asinC,判断三角形形状.解析:由余弦定理知cosB=a2+c2-b22ac,代入c=acosB得:c=a·a2+c2-b22ac,∴c2+b2=a2,∴△ABC是以A为直角的直角三角形.又∵b=asinC,∴b=a·ca,∴b=c,∴△ABC也是等腰三角形.综上所述,△ABC是等腰直角三角形.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评:1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即用转化思想解决问题,一般有两条思考路线:(1)化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)化角为边,再进行代数恒等变换,求出三角之间的数量关系.2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:(1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.(2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.(3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.(4)若sin2A=sin2B,则A=B或A+B=π2.学习目标预习导学典例精析栏目链接4.在△ABC中,已知a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,请确定△ABC的形状.解析:方法一利用边的关系来判断:由正弦定理得sinCsinB=cb,由2cosAsinB=sinC,有cosA=sinC2sinB=c2b.又由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc.∴c2b=b2+c2-a22bc,学习目标预习导学典例精析栏目链接即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b,又∵a2+b2-c2=ab,∴2b2-c2=b2,∴b2=c2.∴b=c,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二利用角的关系来判断:∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B),又∵2cosAsinB=sinC,∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,∴sin(A-B)=0.又∵A与B均为△ABC的内角,所以A=B,又由a2+b2-c2=ab,学习目标预习导学典例精析栏目链接由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.又0°<C<180°,所以C=60°,∴△ABC为等边三角形.
本文标题:2015-2016学年高中数学 1.1.2余弦定理课件 新人教A版必修5
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