函数单调性

函数的单调性教学目的（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？画出下列函数的图象，观察其变化规律：1、从左至右图象上升还是下降____?2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升1、在区间____上，f(x)的值随着x的增大而______．2、在区间_____上，f(x)的值随着x的增大而_____．f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：当我们在上述图像上的区间上分别取两点和，且使得,我们会发现相应的有当我们在上述图像上的区间上分别取两点和，且使得,我们会发现相应的有这种方法叫做解析法。0,1x2x21xx)()(21xfxf),0(1x2x21xx)()(21xfxf二、新知探究解析法图像法通俗语言：在区间（0，+∞）上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。数学语言：在区间（0，+∞）上，任取，得当时，有。这时我们就说函数在区间（0，+∞）上是增函数21,xx,)(,)(222211xxfxxf21xx)()(21xfxf2)(xxf列表法x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…一、函数单调性定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．2．减函数定义中的关键语句有那些？1.给定区间增、减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性。思考：我们能否说一个函数在x=3时是递增的或是递减的？结论：不能。因为函数在某一点的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化。能否脱离区间泛泛而谈某个函数是增函数或是减函数？举例说明。是增函数或减函数是增函数。因而不能说时当是减函数时当结论：不能。如220;,0,xyxyxx所以，在谈论函数增减性时必须指明相应的区间。关键语句：2.属于能从其他区间上取。必须取自给定区间，不、两个自变量21xx3.任意“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性。4.都有212121,,xfxfxfxfxx都大于或就必须都小于“都有”是指只要如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.二．函数的单调性定义在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数．1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)分别是增函数和减函数.yoxoyxyoxyoxyox在增函数在减函数ab2--，,2ab在增函数在减函数ab2--，,2ab在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yox三、概念的应用例1根据图象说出函数的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数？xy012345-1-2-3-4-5解：函数在[-5，-2]、[1，3]上是减函数，所以[-5，-2]和[1，3]是函数的单调递减区间；函数在[-2，1]、[3，5]上是增函数，所以[-2，1]和[3，5]是函数的递增区间。和和xy012345-1-2-3-4-5思考：[-5，-2]是函数的单调递减区间，是否（-5，-2）也是函数的单调递减区间？反之不然。上单调递（增或减），在则且单调（增或减）在结论：一般地，若],[],[],[,],[1111baxfbababaxf试用定义法证明函数在区间上是单调增函数。),1[xxy1函数单调性的数学证明证明：在区间上任取两个值且1,12,xx12xx则12121211()()()()fxfxxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,xx，且12xx12120,10xxxx1212()()0,()()fxfxfxfx所以函数在区间上是增函数.1yxx1,取值作差变形定号结论返回）上是减函数，在（练习：证明函数0122xxxf2121)0,(xxxx且设、解：)1()1(2222212121xxxxxfxf)11()(21222221xxxx)11)()((22212121xxxxxx0,00212121xxxxxx所以又因为0)11)()((011222121212221xxxxxxxx所以又21210xfxfxfxf即从而得）上是减函数。，在（所以0xf总结：判断函数单调性的方法步骤1任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：思考？思考：画出反比例函数的图象．1这个函数的定义域是什么？2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．证明：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=21122111xxxxxx由于x1,x2得x1x20,又由x1x2得x2-x10所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),0因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值定号变形作差判断1、法二：作商的方法由x1x2时，大于或小于1来比较f(x1)与f(x2)的大小，最后得出结论。21xfxfyxoxxf12、由图象知：函数在上不具有单调性。,函数单调性证明方法二单调增区间单调减区间a0a02yaxbxc,2ba,2ba2(0)yaxbxca的对称轴为2bxa返回,2ba,2ba.2254.42axxaxxxf）时是增函数，求，（是减函数，在）上，（在）（已知函数例28:a解16a.2542的取值范围是减函数，求）上，（在）（已知函数axaxxxf28:a解16a上是，在是单调递增的，则，在、偶函数005xfxf上是，在是单调递增的，则，在、奇函数006xfxf是，有最上是在则，是单调递增的，且，在、奇函数2,84827minxfxfxf单调递减单调递增单调递增大-4的取值范围。求，）（且上单调递增，，在、奇函数aafaafxf0223222822222232afaaf解：223222afaaf2232222223222222aaaaaa的单调性讨论例)()11(1.92Raxxaxxf11,1,1,222211212121xaxxaxxfxfxxxx且设解：01,01,1,1222121xxxx,01,1212121xxxxxx又上为增函数在时不具有单调性在时上为减函数在时)1,1(,0,0)1,1(,0,0)1,1(,0,02121xfxfxfaxfxfaxfxfxfa0)1)(1()1)((22212112xxxxxx)1)(1()1)((22212112xxxxxxa0,1221xxxx例10.已知y=f(x)是奇函数,若f(x)在(-a,-b)(ab0)上是增函数,则f(x)在(b,a)上是增函数.证明:2121),,(,xxabxx且设2121),,(,xxbaxx.),()(上是增函数在baxf)()(21xfxf)()(21xfxf)()(21xfxf.),()(上是增函数在abxf)()(.)(xfxfxf是奇函数的取值范围，求若；，求上是增函数，且，在、已知函数xxfxfffyfxfxyffxf232411,,12011则下列函数的单调性是是减函数，在时是增函数，在、函数RxxgRxxf12（1）f[g(x)]是（2）g[f(x)]是（3）f[f(x)]是（4）g[g(x)]是单调递减单调递减单调递增单调递增思考（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数，函数g(x)在区间D上是增函数。问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？为什么？)]()([)]()([)()()()(),()(,,)()(22112121212121xgxfxgxfxFxFxgxgxfxfxxDxxDxgDxf都有且任取上是增函数在区间上是增函数，在区间)]()([)]()([2121xgxgxfxf)()(,0)]()([)]()([212121xFxFxgxgxfxf即所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数是（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数，函数g(x)在区间D上是减函数。问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？为什么？（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数，函数g(x)在区间D上是增函数。问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数此时F(x)=f(x)+g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性不能是的单调区间求若、已知函数)(,)()(,2)(,281322xgxhfxgxxhxxxfyxoy=kx+b(k0)yxoy=kx+b(k0)讨论一般性问题：1、当k变化时函数的单调性有何变化？2、当b变化时函数的单调性有何变化？例3．借助计算机作出函数y=－x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间．8642-2-4-6-8-10-5510fx=-x2+2x+3判断题：（1）已知f(x)=1/x，因为f(-1)f(2),所以函数f(x)