2013-2014天河区九年级数学期末

广东省广州市天河区2013-2014九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥12．下列图形中，是中心对称图形的是（）3．下列事件中，是不可能事件的是（）A．买一张电影票，座位号是奇数B．射击运动员射击一次，命中9环C．明天会下雨D．度量三角形的内角和，结果是360°4．如果两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切5．将抛物线y=3x2向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2B．y=3（x﹣2）2C．y=3x2+2D．y=3x2﹣26．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）A．16个B．15个C．13个D．12个7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠08．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根9．如图，=，且∠A=60°，半径OB=2，则下列结论不正确的是（）A．∠B=60°B．∠BOC=120°C．的度数为240°D．弦BC=10．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．计算：=_________．12．设x1，x2是方程x2﹣4x+3=0的两根，则x1+x2=_________．13．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为_________cm2．（结果保留π）14．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB′的长_________．15．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，若OC=AB=，则半径OB的长为_________．16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=_________．三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17．（9分）解方程：（1）4x2﹣9=0（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．18．（9分）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2﹣2，BC=2．（1）求Rt△ABC的面积；（2）求斜边AB的长．19．（10分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）画出△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1OB1．（2）填空：点A1的坐标为_________．（3）求出在旋转过程中，线段OB扫过的扇形面积．20．（10分）某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛．小明和小红都想去，于是老师制作了三张形状、大小和颜色完全一样的卡片，上面分别标有“1”，“2”，“3”，小明从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回，小红再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字，谁抽取的数大就谁去，若两个数一样大则重新抽．这个游戏公平吗？请用树枝状图或列表的方法，结合概率知识给予说明．21．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．（1）求b，c的值．（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）若∠BAC=30°，求证：CD平分OB．（2）若点E为的中点，连接0E，CE．求证：CE平分∠OCD．（3）若⊙O的半径为4，∠BAC=30°，则圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？请说明理由．24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），且经过原点O，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m，n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）m，n的值．（2）求抛物线的解析式．（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD，BD．当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标．25．（14分）如图，某中学校园有一块长为35m，宽为16m的长方形空地，其中有一面已经铺设长为26m的篱笆围墙，学校设计在这片空地上，利用这面围墙和用尽已有的可制作50m长的篱笆材料，围成一个矩形花园或围成一个半圆花园，请回答以下问题：（1）能否围成面积为300m2的矩形花园？若能，请写出其中一种设计方案，若不能，请说明理由．（2）若围成一个半圆花园，则该如何设计？请写出你的设计方案．（π取3.14）（3）围成的各种设计中，最大面积是多少？参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．D2．A3．D4．B5．A6．D7．D8．D9．D10．D二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．．12．4．13．270π14．2．15．2．16．2．三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17．解：（1）分解因式得：（2x+3）（2x﹣3）=0，解得：x1=﹣，x2=；（2）分解因式得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．18．解：（1）Rt△ABC的面积=AC•BC=×（2﹣2）×（2+2），=×[（2）2﹣22]=×（12﹣4）=×8=4；（2）AB=，===4．19．解：（1）△A1OB1如图所示；（2）点A1（﹣2，3）；（3）由勾股定理得，OB==，∴线段OB扫过的扇形面积==π．故答案为：（﹣2，3）．20．解：游戏公平．理由如下：画树状图为：共有9种等可能的结果数，小明随机抽取一张的数值大于小红的占3种，小红抽取的数值大于小明的占3种，所以小明去的概率==，小红去的概率==，因为小明去的概率等于小红去的概率，所以此游戏公平．21．解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为．22．解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴B（2，2），C（0，2），把B（2，2），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c得，解得；（2）二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．23．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴∠B=60°，而OC=OB，∴△OBC为等边三角形，∵CD⊥OB，∴CD平分OB；（2）证明：∵点E为的中点，∴OE⊥AB，而CD⊥AB，∴OE∥CD∴∠OEC=∠ECD，∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE，∴∠OCE=∠ECD，即CE平分∠OCD；（3）解：圆周上到直线AC距离为3的点有2个．利用如下：作OF⊥AC于F，交⊙O于G，如图，∵OA=4，∠BAC=30°，∴OF=OA=2，∴GF=OG﹣OF=2，即在弧AC上到AC的最大距离为2cm，∴在弧AC上没有一个点到AC的距离为3cm，而在弧AEC上到AC的最大距离为6cm，∴在弧AEC上有两个点到AC的距离为3cm．24．解：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=3，x2=﹣1．∵m＜n，∴m=﹣1，n=3．（2）∵m=﹣1，n=3，∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0）．∴，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x．（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．∴，解得：，∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣．∴C点坐标为（0，﹣）．∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x），（i）当OC=OP时，x2+（﹣x）2=．解得x1=，x2=﹣（舍去）．∴P1（，﹣）．（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，﹣）．（iii）当OC=PC时，由x2+（﹣x+）2=，解得x1=，x2=0（舍去）．∴P3（，﹣）．∴P点坐标为P1（，﹣），P2（，﹣），P3（，﹣）．25．解：（1）设垂直于已经铺设长为26m的篱笆围墙的一边为xm，则平行于原篱笆的长为（50﹣2x）m，根据题意得出：x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，则50﹣20=30＞26，故不合题意舍去，∴能围成面积为300m2的矩形花园，此时长为20m，宽为15m；（2）∵当r=13时，∴l半圆=πr=3.14×13=40.82＜50，∴半圆的直径应大于26m，设新增加am，则半圆弧长为：π×，∴a+π×=50，解得：a≈3.57，∴半圆直径为：26+3.57=29.57（m），∴半圆的半径为：14.79m；（3）S1=x（50﹣2x）=﹣2x2+50x，当x=12.5时，S最大==312.5（m2），S半圆=π×14.792≈343.43（m2），∴围成的各种设计中，最大面积是半圆面积为343.43m2．