2015届高三数学(理)一轮复习课件：3.6函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应

第三章三角函数、解三角形第6课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念指出y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中的振幅、周期、频率、相位、初相分别是什么？提示：振幅是A，周期是2πω，频率为ω2π，相位是ωx＋φ，当x＝0时，φ为初相栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图(1)y＝sinx、y＝cosx的图象中的五个关键点分别是什么？提示：正弦函数y＝sinx的图象中的五个关键点分别是(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)；余弦函数y＝cosx的图象中的五个关键点分别是(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2)y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的五个关键点：x____________________ωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φω栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤温馨提醒：列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．(2013·高考浙江卷)函数f(x)＝sinxcosx＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2A栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．把y＝sin12x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sinωx的图象，则ω的值为()A．1B．4C.14D．2C栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3.(2013·高考四川卷)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3A栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关4．用五点法作函数y＝sinx－π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________．5．(2014·北京东城一模)把函数y＝cosx＋π3的图象向左平移m个单位(m＞0)，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是________．2π3，1π6，07π6，05π3，－113π6，023π栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2013·高考安徽卷)设函数f(x)＝sinx＋sin(x＋π3)．(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到．三角函数的图象及其变换[课堂笔记]栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)因为f(x)＝sinx＋12sinx＋32cosx＝32sinx＋32cosx＝3sin(x＋π6)，所以当x＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)，即x＝2kπ－2π3(k∈Z)时，f(x)取得最小值－3.此时x的取值集合为{x|x＝2kπ－2π3，k∈Z}．(2)先将y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y＝3sinx的图象；再将y＝3sinx的图象上所有的点向左平移π6个单位，得y＝f(x)的图象．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法:(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表、计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．注意：“五点法”作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图象变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?【解】(1)列表取值：xπ232π52π72π92π12x－π40π2π32π2πf(x)030－30栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y＝sinx的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2013·高考四川卷)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3由图象求函数解析式[课堂笔记]A栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】∵34T＝512π－－π3＝34π，∴T＝π.∵2πω＝π(ω0)，∴ω＝2.由图象知当x＝512π时，2×512π＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝2kπ－π3(k∈Z)．∵－π2φπ2，∴φ＝－π3.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．(2014·辽宁五校联考)设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f(16)的值为()A．－34B．－14C．－12D.34D栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】由题意知，点M到x轴的距离是12，根据题意可设f(x)＝12cosωx，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝12cosπx，故f(16)＝12cosπ6＝34.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(2014·浙江金丽衢十二校联考)已知我省某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为()A．10小时B．8小时C．6小时D．4小时三角函数模型的简单应用B栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关[课堂笔记]【解析】依题意得A＋b＝1.5－A＋b＝0.52πω＝12，A＝0.5，b＝1，ω＝π6，所以y＝0.5cosπ6t＋1.令y＝0.5cosπ6t＋1＞1.25(t∈[0，24])得cosπ6t＞12.又t∈[0，24]，π6t∈[0，4π]，因此0≤π6t＜π3或5π3＜π6t≤2π或2π≤π6t＜2π＋π3或2π＋5π3＜π6t≤2π＋2π，即0≤t＜2或10＜t≤12或12≤t＜14或22＜t≤24，在一日内，海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知函数模型求解数学问题，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是迅速建模．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3.如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】连接MP(图略)．依题意，有A＝23，T4＝3，又T＝2πω，∴ω＝π6，∴y＝23sinπ6x.当x＝4时，y＝23sin2π3＝3，∴M(4，3)．又P(8，0)，∴MP＝（－4）2＋32＝5.即M，P两点相距5km.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2013·高考湖南卷)已知函数f(x)＝cosx·cos(x－π3)．(1)求f(2π3)的值；(2)求使f(x)14成立的x的取值集合．三角函数y＝Asin(ωx＋φ)及性质的应用栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关[解](1)f(2π3)＝cos2π3·cosπ3＝－cosπ3·cosπ3＝－(12)2＝－14.(2)f(x)＝cosxcos(x－π3)＝cosx·(12cosx＋32sinx)＝12cos2x＋32sinxcosx＝14(1＋cos2x)＋34sin2x＝12cos(2x－π3)＋14.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关f(x)14等价于12cos(2x－π3)＋1414，即cos(2x－π3)0.于是2kπ＋π22x－π32kπ＋3π2，k∈Z.解得kπ＋5π12xkπ＋11π12，k