2015届高三数学(理)一轮复习课件：5.3等比数列及其前n项和(人教A版)

第五章数列第3课时等比数列及其前n项和栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．等比数列的基本概念(1)等比数列的定义等比数列是如何定义的？提示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列定义中的常数叫什么？提示：数列的公比栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关温馨提醒：从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2)等比中项什么是等比中项？提示：如果在a与b中间插入一个数G,使a，G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项．即G2＝a·b2．等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为____________________．an＝a1qn－1(n∈N*)栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3．等比数列的前n项和公式(1)当公比q＝1时，Sn＝________；(2)当公比q≠1时，Sn＝____________＝____________．温馨提醒：在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．na1a1（1－qn）1－qa1－anq1－q栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关4．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝________＝________；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．ap·aqa2r栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．(2014·湖北荆州市质量检测)已知数列{an}是等比数列，a4＝4，a7＝12，则公比q＝()A．－12B．－2C．2D.12D栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{an＋an＋1}，{an＋1－an}，anan＋1，{nan}这四个数列中，是等比数列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个C栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3．(2013·高考大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B.19(1－310)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)C栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关4．(2014·浙江杭州调研)在等比数列{an}中，若a5＝5，则a3·a7＝________．5．(2013·高考北京卷)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝___________.2522n＋1－2栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an(2)(2013·高考四川卷改编)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则数列{an}的前n项和Sn为________．等比数列的基本运算[课堂笔记]D3n－12栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】(1)法一：在等比数列{an}中，Sn＝a1－anq1－q＝1－an·231－23＝3－2an.法二：在等比数列{an}中，a1＝1，q＝23，∴an＝1×(23)n－1＝(23)n－1.Sn＝1×[1－（23）n]1－23＝3[1－(23)n]栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关＝3[1－23(23)n－1]＝3－2an.(2)设该数列的公比为q.由已知，得a1q－a1＝2，4a1q＝3a1＋a1q2，∴a1（q－1）＝2，q2－4q＋3＝0，解得a1＝1，q＝3.(q＝1舍去)故首项a1＝1，公比q＝3.∴数列的前n项和Sn＝3n－12.栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关等比数列运算的通法：与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(a1q≠0)及前n项和公式Sn＝na1，q＝1a1（1－qn）1－q，q≠1中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q时，要注意应用q≠0验证求得的结果．栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．【解】由题设知a1≠0，Sn＝a1（1－qn）1－q，所以a1q2＝2，①a1（1－q4）1－q＝5×a1（1－q2）1－q.②由②式得1－q4＝5(1－q2)，即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关因为q1，所以q＝－1，或q＝－2.当q＝－1时，代入①式得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，代入①式得a1＝12，通项公式an＝12×(－2)n－1.综上，an＝2×（－1）n－1，q＝－1，12×（－2）n－1，q＝－2.栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2014·东北三校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列{an＋23(－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式．等比数列的判定与证明[课堂笔记]栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)中分别令n＝1，2，3得：a1＝2a1－1a1＋a2＝2a2＋1a1＋a2＋a3＝2a3－1，解得a1＝1a2＝0.a3＝2(2)证明：由Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)得：Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1(n≥2)，两式相减得：an＝2an－1－2(－1)n(n≥2)，an＝2an－1－43(－1)n－23(－1)n＝2an－1＋43(－1)n－1－23(－1)n(n≥2)，∴an＋23(－1)n＝2[an－1＋23(－1)n－1](n≥2)．栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关故数列{an＋23(－1)n}是以a1－23＝13为首项，公比为2的等比数列．∴an＋23(－1)n＝13×2n－1，an＝13×2n－1－23×(－1)n＝2n－13－23(－1)n.栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关等比数列的判定方法有：(1)定义法：an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c、q均为不为0的整数，n∈N*)，则{an}是等比数列．栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．(卓越联盟自主招生试题改编)设数列{an}满足a1＝a，a2＝b，2an＋2＝an＋1＋an.(1)设bn＝an＋1－an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明：由2an＋2＝an＋1＋an得2(an＋2－an＋1)＝－(an＋1－an)．因为bn＝an＋1－an，所以2bn＋1＝－bn，即bn＋1＝－12bn.又b1＝a2－a1＝b－a，栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关所以{bn}是首项为b－a，公比为－12的等比数列．(2)由(1)得bn＝b1·－12n－1，即an＋1－an＝(b－a)·－12n－1，所以a2－a1＝b－a，a3－a2＝(b－a)·－12，…an－an－1＝(b－a)·－12n－2，栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关an＋1－an＝(b－a)·－12n－1，以上各式相加得an＋1－a1＝(b－a)·1－－12n1－－12＝23(b－a)1－－12n，所以an＋1＝a＋23(b－a)1－－12n，即an＝a＋23(b－a)1－－12n－1.栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)(2014·吉林长春市调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝()A．11B．12C．14D．16(2)已知等比数列{an}满足an0，n∈N*，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2等比数列的性质[课堂笔记]CC栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】(1)设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.(2)设等比数列{an}的公比为q，∵a5·a2n－5＝22n(n≥3)，∴a1q4·a1q2n－6＝22n，即a21·q2n－2＝22n⇒(a1·qn－1)2＝22n⇒(an)2＝(2n)2，∵an0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log22＋log223＋…＋log222n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝1＋（2n－1）2·n＝n2.栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3．(1)(2014·江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝()A．150B．－200C．150或－200D．400或－50(2)(2014·北京西城区期末测试)已知{an}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝________；1a21＋1a22＋…＋1a2n＝___________．A213(1－14n)栏目导引第五章数列名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】(1)依题