2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 函数的奇偶性和周期性

高考调研第二章函数与基本初等函数高三数学（新课标版·理）第二章函数与基本初等函数2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研第3课时函数的奇偶性和周期性高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2．掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．2012·考纲下载高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研新课标《考试大纲》把函数的奇偶性又提到与函数的单调性同等地位，因此，函数的奇偶性在新高考中占有重要的地位，成为新的热点，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性，周期性的考查力度.请注意！高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：①如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；f(－x)＝－f(x)高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研②如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；③如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．f(－x)＝f(x)高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研2．证明函数奇偶性的方法步骤①确定函数定义域关于对称；②判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．原点高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研3．奇偶函数的性质①奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；②若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；原点y轴0高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研③若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性④若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．一致相反．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研4．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．5．函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称．f(x＋T)＝f(x)x＝a高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研1．对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A．y＝2x－3B．y＝－3x2C．y＝ln5xD．y＝－|x|cosx答案C高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研2．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的是()A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))答案B高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研解析∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图像上．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研3．(2011·上海)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝ln1|x|B．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cosx答案A高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研4．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.答案0高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研解析由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研5．(2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－52)＝()A．－12B．－14C.14D.12答案A高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研解析依题意得，f(－52)＝－f(52)＝－f(52－2)＝－f(12)＝－2×12×(1－12)＝－12，选A.高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)(3)f(x)＝1ax－1＋12(a0，a≠1)高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研【思路】判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再严格按照奇偶性的定义进行推理判断．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研【解析】(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(2)∵f(x)＝(x－1)1＋x1－x，已知f(x)的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称，高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研又f(－x)＝(－x－1)1－x1＋x＝－(x＋1)1－x1＋x＝－1＋x21－x1＋x＝－1＋x1－x＝－1＋x1－x21－x＝－(1－x)1＋x1－x＝(x－1)1＋x1－x＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研＝－1＋11－ax＋12＝－(1ax－1＋12)＝－f(x)．即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．【答案】(1)非奇非偶(2)偶(3)奇高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研探究1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研思考题1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝ln2－x2＋x；(2)g(x)＝x2＋|x－a|；(3)f(x)＝x2－2xx≥0x2＋2xx＜0.高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研【解析】(1)f(x)的定义域为(－2,2)，f(－x)＝ln2＋x2－x＝－ln2－x2＋x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(2)g(x)的定义域为R，当a＝0时，g(x)＝x2＋|x|，g(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝g(x)，此时g(x)为偶函数．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研当a≠0时，g(a)＝a2，g(－a)＝a2＋2|a|，显然g(a)≠g(－a)，g(a)≠－g(－a)，∴此时g(x)既不是奇函数，也不是偶函数．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研(3)方法一：f(x)的定义域为R，x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝f(x)，x＝0时，f(0)＝0＝f(－0)，x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝f(x)，∴对于x∈R总有f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研方法二：x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x|，x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x|，∴f(x)＝x2－2|x|.∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．【答案】(1)奇(2)a＝0时，偶；a≠0时，非奇非偶(3)偶高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研题型二奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为___________________________．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1]时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为__________．(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为__________．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研【解析】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，x＝0时，有f(－0)＝－f(0),∴f(0)＝0，x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1，∴f(x)＝x＋1x00x＝0x－1x＜0.高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研(2)∵f(x)为奇函数，且在[0,1]上为增函数，∴f(x)在[－1,0]上也是增函数，∴f(x)在(－1,1)上为增函数，f(x)＋f(x－12)＜0，⇔f(x)＜－f(x－12)＝f(12－x)，高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研⇔－1＜x＜1－1＜12－x＜1x＜12－x⇔－12＜x＜14.∴不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为{x|－12＜x＜14}．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研(3)∵f(x＋1)为偶函数，∴函数g(x)＝f(x＋1)的图像关于直线x＝0对称又函数f(x)的图像是由函数g(x)＝f(x＋1)的图像向右平移一个单位而得∴函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研【答案】(1)f(x)＝x＋1x00x＝0x－1x＜0.(2){x|－12＜x＜14}(3)x＝1高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研探究2奇偶函数的性质主要体现在：①若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．②奇偶函数的对称性．③奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研思考题2(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)f(a)的实数a的取值范围是________．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研【解析】若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)f(a)，得aπ.若a0，∵f(π)＝f(－π),则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于f(－π)f(a)，得到a－π，即－πa0.由上述两种情况知a∈(－π，π)．【答案】(－π，π)高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研(2)函数y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________．高考调研高三数学（新课标版·理）第二章第3课时高考调研【解析】∵f(x－2)为奇函数，∴f(x－2)的图像的对称中心为(0,0)，又∵f(x)的图像可由函数f(x－2)的图像向左平移两个单位而得，∴f(x)的图像的对称中心为(－2,0)．【