2016届高考数学一轮复习课件：第4章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示(新人教A版)(山东专用)

第二节平面向量基本定理及坐标表示课堂限时检测挖掘１大技法抓住２个基础知识点掌握３个核心考向[考情展望]1.考查用平面向量的坐标运算进行向量的线性运算.2.考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算.3.以向量的坐标运算及共线向量定理为载体，考查学生分析问题和解决问题的能力．一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_________一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．二、平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示1．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝_______________.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_________________________＝_________________________(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝_________不共线(x1±x2，y1±y2)(x2－x1，y2－y1)|x2－x12＋y2－y12|(λx，λy)2．向量平行的坐标表示(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为________________(2)三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件为____________________________________共线向量的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.x1y2－x2y1＝0(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0共线向量的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.1．下列各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(12，－34)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()A．①B．①③C．②③D．①②③【解析】②中，e2＝2e1，e1与e2共线；③中e1＝4e2，e1与e2共线，故选A.【答案】A2．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是()A．(3，－4)B．(－3,4)C．(3,4)D．(－3，－4)【解析】2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(－3，－4)．【答案】D3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于()A．5B．10C.325D．15【解析】∵a∥b，∴4y－40＝0，∴y＝10.【答案】B4．在平行四边形ABCD中，若AB→＝(1,3)，AC→＝(2,5)，则AD→＝________，BD→＝________.【解析】AD→＝BC→＝AC→－AB→＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，BD→＝AD→－AB→＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．【答案】(1,2)(0，－1)5．(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】显然命题①②是正确的．对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，③是错的，对于命题④，若λ＝μ＝1，|a|＞2时，与|a|＝|b＋c|≤|b|＋|c|＝2矛盾，则④不正确．【答案】B6．(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形图4－2－1网格中的位置如图4－2－1所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.【解析】以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】4考向一[074]平面向量基本定理及其应用(1)(2014·长春模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.图4－2－2(2)如图4－2－2，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD→＝a，AB→＝b，若AB→＝2DC→，则AO→＝________(用向量a和b表示)．【思路点拨】(1)以AD→，AB→为基底分别表示AC→，AE→，AF→，根据平面向量基本定理列方程组求解．(2)AB→＝2DC→―→DO→＝12OB→―→借助三角形法则表示AO→.【尝试解答】(1)选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AB→＋AD→，AF→＝AB→＋12AD→，又AC→＝λAE→＋μAF→＝(12λ＋μ)AB→＋(λ＋12μ)AD→，于是得12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.(2)由AB→＝2DC→知，AB∥DC且|AB→|＝2|DC→|，从而|BO→|＝2|OD→|.∴BO→＝23BD→＝23(AD→－AB→)＝23(a－b)，∴AO→＝AB→＋BO→＝b＋23(a－b)＝23a＋13b.【答案】(1)43(2)23a＋13规律方法11.解答本例(1)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．2．(1)利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．对点训练(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【解析】由题意DE→＝BE→－BD→＝23BC→－12BA→＝23(AC→－AB→)＋12AB→＝－16AB→＋23AC→，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.【答案】12考向二[075]平面向量的坐标运算已知O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求：3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．【思路点拨】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解．【尝试解答】a＝AB→＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)，b＝BC→＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)，c＝CA→＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n)＝(－6m＋n，－3m＋8n)．∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(3)∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴MN→＝(9，－18)．规律方法21.向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用.2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.对点训练如图4－2－3，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四个顶点D的坐标．图4－2－3【解】设顶点D(x，y)．若平行四边形四个顶点的顺序为ABCD，则AB→＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，DC→＝(1－x，－2－y)．由AB→＝DC→，得－1＝1－x，－4＝－2－y，解得x＝2，y＝2.故第四个顶点D的坐标为(2,2)；若平行四边形四个顶点的顺序为ACBD，则AC→＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)，DB→＝(3－x，－1－y)．由AC→＝DB→，得－3＝3－x，－5＝－1－y，解得x＝6，y＝4.故第四个顶点D的坐标为(6,4)；若平行四边形四个顶点的顺序为ABDC，则AB→＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，CD→＝(x－1，y＋2)．由AB→＝CD→，得－1＝x－1，－4＝y＋2，解得x＝0，y＝－6.故第四个顶点D的坐标为(0，－6)．综上，第四个顶点D的坐标是(2,2)或(6,4)或(0，－6)．考向三[076]平面向量共线的坐标表示(1)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．(2)(2014·青岛期中)向量a＝13，tanα，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos2α＝()A．－13B.13C．－79D.79【思路点拨】(1)根据a与b的关系，设出a的坐标，再根据|a|＝25求解；(2)由向量平行关系的坐标表示列出等式，求出sinα后，再利用二倍角公式进行求解．【尝试解答】(1)∵a与b的方向相反且b＝(2,1)，∴设a＝λb＝(2λ，λ)，λ＜0，又|a|＝25，∴4λ2＋λ2＝20，即λ2＝4，又λ＜0，∴λ＝－2，因此a＝(－4，－2)．(2)∵a＝13，tanα，b＝(cosα，1)，又由a∥b可知13＝tanαcosα，即sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－29＝79.【答案】(1)(－4，－2)(2)D规律方法31.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．对点训练(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2(2)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．【解析】(1)∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，∴a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，由于(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)，∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.(2)因为OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，所以AB→＝(3,1)，BC→＝(－m－1，－m)．由于点A、B、C能构成三角形，所以AB→与BC→不共线，而当AB→与BC→共线时，有3－m－1＝1－m，解得m＝12，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠12.【答案】(1)B(2)m≠12思想方法之十二待定系数法在向量运算中的应用根据向量之间的关系，利用待定系数法列出一个含有待定系数的恒等式，然后根据恒等式的性