2016届高考数学第一轮复习 第五章 平面向量课件 理 北师大版

§5.1平面向量的概念及运算(见学生用书P85)1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.一、向量的有关概念1.向量:既有大小,又有方向的量叫作向量;向量的大小叫作向量的模.2.零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.3.单位向量:长度等于1个单位的向量.4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.6.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=b+a(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫作a与b的差a-b=a+(-b)1.对于两个向量和的运算,分清“平行四边形法则”与“三角形法则”的区别.2.对于两个向量差的运算,一方面两个向量应该移成同一起点,另一方面注意所得差向量的方向.三、向量的数乘运算及其几何意义1.定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:①|λa|=|λ||a|;②当λ0时,λa与a的方向相同;当λ0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.2.运算律:设λ,μ是两个实数,则①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.实数λ与向量a的积是一个向量,常见错误有0a=0,λ0=0.四、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.小结论:已知𝑂𝐴=λ𝑂𝐵+μ𝑂𝐶(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.1.在平面四边形ABCD中,P为平面上一点,若𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶+𝑃𝐷=𝐴𝐵+𝐶𝐷,则点P为().A.四边形ABCD对角线的交点B.AC的中点C.BD的中点D.CD上一点由𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶+𝑃𝐷=𝐴𝐵+𝐶𝐷可得𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶+𝑃𝐷=𝑃𝐵-𝑃𝐴+𝑃𝐷-𝑃𝐶,于是有2𝑃𝐴=-2𝑃𝐶,即𝑃𝐴=-𝑃𝐶,所以P为AC的中点.B2.在△ABC中,𝐴𝐵=c,𝐴𝐶=b.若点D满足𝐵𝐷=2𝐷𝐶,则𝐴𝐷=().A.13b+23cB.53c-23bC.23b-13cD.23b+13c由题意可知𝐵𝐶=𝐴𝐶-𝐴𝐵=b-c,∴𝐵𝐷=23𝐵𝐶=23(b-c),∴𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝐵+23𝐵𝐶=c+23(b-c)=23b+13c.D3.在△ABC所在的平面内有一点P,如果2𝑃𝐴+𝑃𝐶=𝐴𝐵-𝑃𝐵,那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是().A.34B.12C.13D.23因为2𝑃𝐴+𝑃𝐶=𝐴𝐵-𝑃𝐵=𝐴𝑃,所以𝑃𝐶=3𝐴𝑃,所以A、P、C三点在同一直线上,且|𝑃𝐶|=3|𝐴𝑃|,所以△PBC与△ABC的高相等,且|PC|=34|AC|,所以𝑆△𝑃𝐵𝐶𝑆△𝐴𝐵𝐶=|𝑃𝐶||𝐴𝐶|=34.A4.设e1、e2是两个不共线的向量,已知𝐴𝐵=2e1+ke2,𝐶𝐵=e1+3e2,𝐶𝐷=2e1-e2,若A、B、D三点共线,则实数k的值为.𝐴𝐵=2e1+ke2,𝐵𝐷=𝐶𝐷-𝐶𝐵=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.由𝐴𝐵∥𝐵𝐷,知2e1+ke2=λ(e1-4e2),∴𝜆=2,-4𝜆=𝑘,则k=-8.-85.给出以下命题:①若两非零向量a,b,使得a=λb(λ∈R),则a∥b;②若两非零向量a∥b,则a=λb(λ∈R);③若λ∈R,则λa∥a;④若λ,μ∈R,λ≠μ,则(λ+μ)a与a共线.其中命题正确的是.(把所有正确命题都填上)a∥b(b≠0)⇔存在实数λ使得a=λb,所以都正确.①②③④(见学生用书P86)1.平面向量的有关概念(5年1考)2.向量的加法与减法(5年2考)3.向量的数乘运算及几何意义(5年3考)4.共线向量(5年2考)考查向量加减法、数乘运算及其几何意义(2014年新课标全国Ⅰ卷)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则𝐸𝐵+𝐹𝐶=().A.𝐵𝐶B.12𝐴𝐷C.𝐴𝐷D.12𝐵𝐶如图,𝐸𝐵+𝐹𝐶=𝐸𝐶+𝐶𝐵+𝐹𝐵+𝐵𝐶=𝐸𝐶+𝐹𝐵=12(𝐴𝐶+𝐴𝐵)=12·2𝐴𝐷=𝐴𝐷.C(2014年浙江卷)记max{x,y}=𝑥,𝑥≥𝑦,𝑦,𝑥𝑦,min{x,y}=𝑦,𝑥≥𝑦,𝑥,𝑥𝑦,设a,b为平面向量,则().A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2由于|a+b|,|a-b|与|a|,|b|的大小关系与夹角大小有关,故A,B错.当a,b夹角为锐角时,|a+b||a-b|,此时,|a+b|2|a|2+|b|2;当a,b夹角为钝角时,|a+b||a-b|,此时,|a-b|2|a|2+|b|2;当a⊥b时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故选D.D本题考查平面向量的相关概念及加法、减法法则,考查数形结合思想、信息迁移和分析解决问题的综合能力.(见学生用书P86)题型一平面向量的有关概念给出下列四个命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“𝐴𝐵=𝐷𝐶”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.其中正确命题的序号是.根据平面向量基本知识进行判断即可.①不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵𝐴𝐵=𝐷𝐶,∴|𝐴𝐵|=|𝐷𝐶|且𝐴𝐵∥𝐷𝐶,又∵A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则𝐴𝐵∥𝐷𝐶且|𝐴𝐵|=|𝐷𝐶|,因此,𝐴𝐵=𝐷𝐶.③正确.∵a=b,∴a,b的模相等且方向相同.又b=c,∴b,c的模相等且方向相同,∴a,c的模相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.②③准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.给出下列四个命题:①a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点;③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;④有相同起点的两个非零向量不平行.其中所有正确命题的序号是.零向量与任一向量都共线,命题①中的b可能为零向量,从而不正确.两个相等的非零向量可以在同一直线上,此时就构不成四边形,更不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以命题②不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以命题④不正确.③正确.综上所述,正确命题的序号是③.③题型二向量的数乘运算及其几何意义如图所示,D、E是△ABC中AB、AC边的中点,M、N分别是DE、BC的中点.已知𝐵𝐶=a,𝐵𝐷=b,试用a、b分别表示𝐴𝐶、𝐶𝐸和𝑀𝑁.结合图形可先把𝐴𝐶转化为𝐵𝐶与𝐵𝐴的差,即可得到𝐴𝐶,而𝐶𝐸与𝐴𝐶是共线向量;𝑀𝑁先转化为𝑀𝐷、𝐷𝐵、𝐵𝑁的和,然后再转化为a、b的和差关系.由三角形中位线知DE�12BC,故𝐷𝐸=12𝐵𝐶,即𝐷𝐸=12a.∴𝐴𝐶=𝐵𝐶-𝐵𝐴=a-2b,𝐶𝐸=-12𝐴𝐶=-12a+b,𝑀𝑁=𝑀𝐷+𝐷𝐵+𝐵𝑁=12𝐸𝐷-𝐵𝐷+12𝐵𝐶=-14a-b+12a=14a-b.用已知向量来表示另外一些向量,是用向量解题的基本功,除综合利用向量的加、减法,数乘向量外,还需要充分利用平面几何的一些定理.平行四边形OADB的对角线交于点C,𝐵𝑀=13𝐵𝐶,𝐶𝑁=13𝐶𝐷,𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,用a,b表示𝑂𝑀,𝑂𝑁,𝑀𝑁.𝐵𝐴=a-b,𝐵𝑀=16𝐵𝐴=16a-16b,𝑂𝑀=𝑂𝐵+𝐵𝑀=16a+56b,𝑂𝐷=a+b,𝑂𝑁=𝑂𝐶+𝐶𝑁=12𝑂𝐷+16𝑂𝐷=23𝑂𝐷=23a+23b,𝑀𝑁=𝑂𝑁-𝑂𝑀=12a-16b.题型三共线向量定理设两个非零向量a与b不共线.(1)若𝐴𝐵=a+b,𝐵𝐶=2a+8b,𝐶𝐷=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.要证A、B、D三点共线,只需证𝐴𝐵、𝐵𝐷共线.两向量共线,可得两向量系数的比例关系.由此可得k的方程,即可求得k的值.(1)∵𝐴𝐵=a+b,𝐵𝐶=2a+8b,𝐶𝐷=3(a-b),∴𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐶𝐷=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5𝐴𝐵.∴𝐴𝐵,𝐵𝐷共线,又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)ka+b与a+kb共线,则存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.共线向量定理的条件和结论是充要条件关系,既可以证明向量共线,也可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.设M是△ABC所在平面上的一点,且𝑀𝐵+32𝑀𝐴+32𝑀𝐶=0,D是AC中点,则|𝑀𝐷𝑀𝐵|的值为().A.13B.12C.1D.2∵D为AC中点,∴𝑀𝐵=-32(𝑀𝐴+𝑀𝐶)=-32·2𝑀𝐷=-3𝑀𝐷,∴|𝑀𝐷||𝑀𝐵|=13.A(见精练案P55)一、选择题1.在△ABC中,已知M是BC中点,设𝐶𝐵=a,𝐶𝐴=b,则𝐴𝑀=().A.12a-bB.12a+bC.a-12bD.a+12b𝐴𝑀=𝐴𝐶+𝐶𝑀=-𝐶𝐴+12𝐶𝐵=-b+12a.A2.已知向量i与j不共线,且𝐴𝐵=i+mj,𝐴𝐷=ni+j,m≠1,若A,B,D三点共线,则实数m,n满足的条件是().A.m+n=1B.m+n=-1C.mn=1D.mn=-1因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ,使得𝐴𝐵=λ𝐴𝐷,即i+mj=λ(ni+j)=λni+λj,所以由平面向量基本定理可得𝜆𝑛=1,𝜆=𝑚,所以mn=1.C3.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使𝑎|𝑎|=𝑏|𝑏|成立的充分条件是().A.|a|=|b|且a∥bB.a=-bC.a∥bD.a=2bA可以推得𝑎|𝑎|=𝑏|𝑏|或𝑎|𝑎|=-𝑏|𝑏|,则为既不必要也不充分条件;B可以推得𝑎|𝑎|=-𝑏|𝑏|,为既不充分也不必要条件;C同A;D为充分不必要条件.故选D.D4.已知点O是平面上的一定点,△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若动点P满足𝑂𝑃-𝑂𝐴=λ(b𝐴𝐵+c𝐴𝐶),λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的().A.重心B.垂心C.内心D.外心根据题意,在△ABC中,动点P满足𝑂𝑃-𝑂𝐴=λ(b𝐴𝐵+c𝐴𝐶),λ