2014届高三数学一轮复习专讲专练：5.3等比数列

[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念定义an＋1an＝q(q是常数且q≠0，n∈N＋)或＝q(q是常数且q≠0，n∈N＋且)通项公式an＝anan－1n≥2a1qn－1前n项和公式Sn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项G＝±ab二、等比数列的性质1．通项公式的推广：an＝am·qn－m.2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s，则有.ap·aq＝ar·as3．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍是等比数列．4．三个数成等比数列且积一定，通常设这三个数为比较方便．5．Sn为等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n满足(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，但不一定成等比数列．aq，a，aq[小题能否全取]1．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32解析：a2·a6＝a24＝16.答案：C答案：A2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()解析：q＝a2＋a3a1＋a2＝2，故a1＋a1q＝3⇒a1＝1，a7＝1×27－1＝64.A．64B．81C．128D．243答案：B3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()解析：∵等比数列{an}的各项都是正数，则a3a11＝16⇔a27＝16⇔a7＝4⇒a10＝a7×q3＝32⇔log2a10＝5.A．4B．5C．6D．74．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.解析：a4＝a1q3，得4＝12q3，解得q＝2，a1＋a2＋…＋an＝121－2n1－2＝2n－1－12.答案：22n－1－12解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，∴a1(4＋4q＋q2)＝0.∵a1≠0，∴q＝－2.5．(2012·新课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.答案：－21.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．(2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.2．等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．[例1]已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．等比数列的判定与证明[自主解答](1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12.∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝12，c1＝－12.又cn＝an－1，故{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.在本例条件下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，证明{bn}是等比数列．证明：∵由(2)知an＝1－12n，∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12也符合上式，∴bn＝12n.∵bn＋1bn＝12，∴数列{bn}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．1.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.解：(1)证明：b1＝a2－a1＝1.当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，故{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列．(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12＝1＋231－－12n－1＝53－23－12n－1.当n＝1时，53－23－121－1＝1＝a1，故an＝53－23－12n－1(n∈N+).[例2](2011·全国高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.等比数列的基本运算[自主解答]设{an}的公比为q，由题设得a1q＝6，6a1＋a1q2＝30.解得a1＝3，q＝2或a1＝2，q＝3.当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．2．(2012·临沂模拟)在等比数列{an}中，a3＝9，a6＝243，求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn，并求a9和S8的值．解：在等比数列{an}中，设首项为a1，公比为q，由a3＝9，a6＝243，得q3＝a6a3＝2439＝27，∴q＝3.由a1q2＝a3，得9a1＝9，∴a1＝1.于是，数列{an}的通项公式为an＝1×3n－1＝3n－1，前n项和公式为Sn＝1×1－3n1－3＝3n－12.由此得a9＝39－1＝6561，S8＝38－12＝3280.等比数列的性质[例3](1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为()A.12B.32C．1D．－32(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶3[自主解答](1)因为a3a4a5＝3π＝a34，所以a4＝3π3.log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a74＝7log333＝7π3，故sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝32.(2)由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝12S3代入得S9S3＝34.[答案](1)B(2)C等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7(2)(2013·成都模拟)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.323(1－4－n)D.323(1－2－n)解析：(1)法一：由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，解得q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.法二：由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.则q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.(2)∵a2＝2，a5＝14，∴a1＝4，q＝12，anan＋1＝122n－5.故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝81－14n1－14＝323(1－4－n)．[答案](1)D(2)C[典例]设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn0(n＝1,2,3，…)．则q的取值范围为________．[解析]因为{an}为等比数列，Sn0，可以得到a1＝S10，q≠0，当q＝1时，Sn＝na10；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q0，即1－qn1－q0(n＝1,2,3，…)，上式等价于不等式组1－q0，1－qn0，(n＝1,2,3，…)，①或1－q0，1－qn0，(n＝1,2,3，…)．②解①式得q1，解②式，由于n可为奇数，可为偶数，得－1q1.综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．[答案](－1,0)∪(0，＋∞)[题后悟道]解答本题利用了分类讨论思想，由于等比数列求和公式中分两种情况q＝1和q≠1，而本题未说明q的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式Sn＝a11－qn1－q.针对训练等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，求an及前n项和Sn.解：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32，S3＝3×32＝92，符合题意，此时an＝32，Sn＝32n.当q≠1时，由已知得a1q2＝32，a11－q31－q＝92，即a1q2＝32，①a11＋q＋q2＝92，②由①②两式相除得2q2－q－1＝0，解得q＝－12，q＝1(舍去)．则a1＝6，故an＝a1qn－1＝6×－12n－1，此时Sn＝a11－qn1－q＝6×1－－12n1＋12＝41－－12n＝4－4×－12n.教师备选题（给有能力的学生加餐）A．2n－1B.32n－1C.23n－1D.12n－11．(2012·大纲全国卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()解题训练要高效见“课时跟踪检测（三十二）”解析：∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an，∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，∴3an＝2an＋1，∴an＋1an＝32.又∵S1＝2a2，∴a2＝12，∴a2a1＝12，∴{an}从第二项起是以32为公比的等比数列，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋121－32n－11－32＝32n－1.(也可以先求出n≥2时，an＝3n－22n－1，再利用Sn＝2an＋1，求得Sn＝32n－1)答案：B2．若数列