2015高考数学一轮复习课件：04-7正弦定理和余弦定理资料

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考一轮总复习第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学第四章第七节正弦定理和余弦定理第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学高考目标课前自主预习思想方法点拨4课堂典例讲练3课后强化作业5第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学高考目标第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学考向预测1．利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变形解决问题．2．与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变形，这是高考的热点．3．三种题型均有可能出现，属中低档题目．第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学课前自主预习第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学知识梳理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_________________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝________________b2＝________________c2＝________________asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝_______，b＝______，c＝_________；②sinA＝a2R，sinB＝_____，sinC＝______③a:b:c＝______________；④a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝.cosA＝__________；cosB＝__________；cosC＝___________.2RsinA2RsinB2RsinCbsinBcsinCsinA:sinB:sinCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22abasinA第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．③已知两边和其中一边的对角，解三角形.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学2.解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学A为锐角A为钝角或直角关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学3.解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学1.(2012·广东文，6)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.32基础自测[答案]B第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]本题考查“已知两角及一角的对边”解三角形，由正弦定理得：32sin60°＝ACsin45°，即AC＝23.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学2．(教材改编题)△ABC的边分别为a、b、c，且a＝1，c＝42，B＝45°，则△ABC的面积为()A．43B．5C．2D．62[答案]C第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]S△ABC＝12acsinB＝12×1×42×sin45°＝2.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学3．(2011·四川理，6)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A．(0，π6]B．[π6，π)C．(0，π3]D．[π3，π)[答案]C第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc≥bc2bc＝12，∴0A≤π3，故选C.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学4．(2012·金溪调研)在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确[答案]B第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC.又∵acosA＝bcosB＝ccosC，∴tanA＝tanB＝tanC.又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，故选B.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学5．(2012·陕西文，13)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.[答案]2第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]本题考查了余弦定理的应用由b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23×32＝4，可得b＝2.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学6．△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.[答案]23第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]由cosC＝13，得sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×b×223＝43.∴b＝23.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A及bsinBc的值．第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，又∵a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴∠A＝60°，在△ABC中，由正弦定理得sinB＝bsinAa.∵b2＝ac，∠A＝60°，∴bsinBc＝b2sin60°ac＝sin60°＝32.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学课堂典例讲练第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[例1]在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C和c.[分析]已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况．或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.正弦定理和余弦定理的应用第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]解法1：∵B＝45°90°，且ba，∴问题有两解．由正弦定理，得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32，∴A＝60°或A＝120°.(1)当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(2)当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学解法2：由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB，即(2)2＝(3)2＋c2－23ccos45°，整理得c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22.又cosA＝b2＋c2－a22bc，①当a＝3，b＝2，c＝6－22时，由①可得cosA＝－12，故A＝120°；当a＝3，b＝2，c＝6＋22时，由①可得第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学cosA＝12，故A＝60°.故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[点评]已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据正弦定理和大边对大角定理或余弦定理进行判断．第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学已知在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，求三角形中的最大角及角C的正弦值．第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]∵acb，∴角A为最大角，由余弦定理有cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°，∴sinA＝32，再根据正弦定理，有asinA＝csinC，∴sinC＝casinA＝57×32＝5314.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[例2]在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．[分析]判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，依正弦定理、余弦定理或三角恒等变形进行边边关系或角角关系的转换．判断三角形的形状第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]解法1：由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k0，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC代入已知条件得ksinAcosA＋ksinBcosB＝ksinCcosC，即sinAcosA＋sinBcosB＝sinCcosC.根据二倍角公式得sin2A＋sin2B＝sin2C，sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝2sinCcosC，∴2sin(A＋B)cos(A－B)＝2sinCcosC.第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学∵A＋B＋C＝π⇒A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sinC≠0，∴cos(A－B)＝cosC，∴cos(A－B)＋cos(A＋B)＝0，∴2cosAcosB＝0⇒cosA＝0或cosB＝0，即A＝90°或B＝90°，∴△ABC是直角三角形．第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学解法2：由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac＋c·c2－a2－b22ab＝0，第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学化简得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4，∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[点评]判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变形得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利