2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第六章 数列第2~3节

1.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系和等比关系，抽象出模型，并能用有关知识解决相应的问题.✎知识点精讲1.若已知数列的第一项(或前项)，且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.2.数列的第项与项数之间的函数关系，可以用一个公式来表示，那么就是数列的通项公式.1anna1nannan()nafnna✎题型归纳及思路提示题型78数列通项公式的求解【例6.20】写出下列数列的一个通项公式（1）；（2），，，，；（3）已知数列中各项为：，，，……，，【分析】通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项.【解析】（1）①符号一正一负，摆动数列乘以；②绝对值后分子分母无明显规律，但通过对偶数项各项分子分母同乘以，使其中分子出现规律为则325374,,,,,,......751381911222222222n个na121122111222222n个111n个.1n23,4,5,6*2(1)().34nnnannN（2）解法一：解法二：原数列即（3）12120*21021022101010111022101().1109nnnnnnnanN222999999999n个，，，，*2101.9nnanN*121(101)10(101)(101)(102)().999nnnnnnanN【例6.21】已知数列满足且，求数列的通项公式.【分析】式子是形如的形式，故利用叠加法求通项公式.【解析】且也满足上式，故na*132,nnaann12ana*132nnaann1nnaafn*132nnaann，131nnaan得，1234nnaan，215aa，，112211232583122nnnnnaaaaaaaannnn…12a23.2nnnanΝ【例6.21变式1】已知数列𝑎𝑛中，𝑎1=2，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2𝑛𝑛∈𝐍∗，求数列𝑎𝑛的通项公式.【解析】即有𝑎2−𝑎1=2，𝑎3−𝑎2=22，⋯，𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=2𝑛−1𝑛≥2，𝑛∈𝐍∗.由已知𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2𝑛𝑛∈𝐍∗，且𝑎1=2,所以𝑎𝑛=2𝑛−2+𝑎1=2𝑛𝑛≥2，𝑛∈𝐍∗.故𝑎𝑛−𝑎1=2+22+⋯+2𝑛−1=21−2𝑛−11−2=2𝑛−2,且𝑛=1,𝑎1=2也满足上式.故𝑎𝑛=2𝑛𝑛∈𝐍∗.【例6.22】已知数列中，则数列的通项公式为（）.【分析】数列的递推公式是形如的形式，故用叠乘法求解.【解析】由变形得，从而故即所以且时满足该式，故故选B.nana1112(1)nnanana，，11A.B.C.D22212nnnnnnnn1()nnafna12(1)nnnana，112nnanan21122(1)2nnaanana，，，1232123211111232=(2)2123212nnnnnnnnaaaaaaaaaannnnnnnn…11(2)2nnanna，…111(2)22nnnnnaan，…*1().2nnnanN11a【解析】=𝑛+1𝑛−1∙𝑛𝑛−2∙𝑛−1𝑛−3∙⋯∙42∙31=𝑛𝑛+12∙故𝑎𝑛𝑎1=𝑎𝑛𝑎𝑛−1∙𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2∙𝑎𝑛−2𝑎𝑛−3∙⋯∙𝑎3𝑎2∙𝑎2𝑎1.且𝑎1=1时，故𝑎𝑛𝑎1∙𝑎1=𝑛𝑛+12𝑛≥2，𝑛∈𝐍∗.故通项公式为𝑎𝑛=𝑛𝑛+12𝑛∈𝐍∗.由𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+2𝑛，变形得𝑎𝑛𝑎𝑛−1=𝑛+1𝑛−1，从而𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2=𝑛𝑛−2，⋯，𝑎2𝑎1=31，且𝑛=1时，𝑎1=1也满足上式.【6.22变式1】已知数列𝑎𝑛中，𝑎1=1，𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+2𝑛，求数列𝑎𝑛的通项公式.【例6.23】已知数列满足（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【解析】（1）由得所以数列是以首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得故nanan11111.2nnaaa，2na1112nnaa，*11121(2)22nnnaaanN，，2na12111112(2)22nnnaa，1*12().2nnanN12121a，1【6.23变式1】已知𝑎1=1,𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+2𝑛≥2,𝑛∈𝐍∗,求数列𝑎𝑛的通项公式.【解析】由𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+2，设𝑎𝑛+𝜆=3𝑎𝑛−1+𝜆，即𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+2𝜆，比较𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+2，得𝜆=1,故𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛−1+1.因此数列𝑎𝑛+1是首项为2，公比为3的等比数列，所以𝑎𝑛+1=𝑎1+1∙3𝑛−1−1(𝑛∈𝐍∗)，即𝑎𝑛=2∙3𝑛−1−1(𝑛∈𝐍∗)，所以𝑎𝑛=2∙3𝑛−1−1𝑛∈𝐍∗.【例6.24】在数列𝑎𝑛中，𝑎1=2，𝑎𝑛+1=4𝑎𝑛−3𝑛+1(𝑛∈𝐍∗)，求数列𝑎𝑛的通项公式.【分析】形如𝑎𝑛+1=𝑝𝑎𝑛+𝑞𝑛+𝑟(𝑝,𝑞,𝑟为常数，𝑝≠0)的递推式，可构造𝑎𝑛+1+𝑎𝑛+1+𝑏=𝑝𝑎𝑛+𝑎𝑛+𝑏转化为等比数列.【解析】令𝑎𝑛+1+𝑎𝑛+1+𝜆=4𝑎𝑛+𝑎𝑛+𝜆,即𝑎𝑛+1=4𝑎𝑛+3𝑎𝑛+3𝜆−𝑎,比较𝑎𝑛+1=4𝑎𝑛−3𝑛+1，得𝑎=−1,𝜆=0.所以数列𝑎𝑛−𝑛是首项为1，公比为4的等比数列，故𝑎𝑛−𝑛=4𝑛−1,即𝑎𝑛=4𝑛−1+𝑛𝑛∈𝐍∗.【例6.25】已知数列𝑎𝑛满足𝑎1=−1,𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+2𝑛−1𝑛≥2,𝑛∈𝐍∗，求数列𝑎𝑛的通项公式.【解析】解法一：将𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+2𝑛−1两边同除以3𝑛得𝑎𝑛3𝑛=𝑎𝑛−13𝑛−1+13×23𝑛−1，则𝑎𝑛3𝑛=𝑎131+13×23𝑛−1+⋯+13×231=−13+13×23−23𝑛1−23=13−23𝑛.则𝑎𝑛=3𝑛−1−2𝑛𝑛∈𝐍∗.解法二：将𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+2𝑛−1两边同除以2𝑛得𝑎𝑛2𝑛=32∙𝑎𝑛−12𝑛−1+12,令𝑏𝑛=𝑎𝑛2𝑛，得𝑏𝑛=32∙𝑏𝑛−1+12，构造𝑏𝑛+𝜆=32𝑏𝑛−1+𝜆，即𝑏𝑛=32𝑏𝑛−1+𝜆2，得𝜆=1.因此数列𝑏𝑛+1为等比数列，且𝑏𝑛+1=𝑏1+132𝑛−1=3𝑛−12𝑛，则𝑏𝑛=3𝑛−12𝑛−1(𝑛∈𝐍∗).故𝑎𝑛2𝑛=3𝑛−12𝑛−1𝑛∈𝐍∗，得𝑎𝑛=3𝑛−1−2𝑛𝑛∈𝐍∗.【评注】一般地，对于形如𝑎𝑛=𝑝𝑎𝑛−1+𝑑𝑛(𝑝≠1,𝑑≠1)的数列求通项公式，两边同除以𝑝𝑛+1转化为叠加法求解，两边同除以𝑑𝑛+1，转化为待定系数法求解.【例6.26】在数列𝑎𝑛中，𝑎1=1，𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛2+𝑎𝑛，求数列𝑎𝑛的通项公式.【分析】式中含有形如𝑎𝑛+1和𝑎𝑛的分式形式，故考虑利用倒数变换求其通项公式.【解析】因为1𝑎𝑛+1=2+𝑎𝑛2𝑎𝑛=1𝑎𝑛+12，所以1𝑎𝑛+1−1𝑎𝑛=12，即数列1𝑎𝑛为等差数列，1𝑎𝑛=1𝑎1+12𝑛−1=𝑛+12，所以𝑎𝑛=2𝑛+1𝑛∈𝐍∗.【例6.28】已知正项数列𝑎𝑛中，𝑆𝑛表示前𝑛项和且满足2𝑆𝑛=𝑎𝑛+1，求数列𝑎𝑛的通项公式.【解析】当𝑛=1时，2𝑎1=𝑎1+1，解得𝑎1=1，由已知可得4𝑆𝑛=𝑎𝑛+12①所以4𝑆𝑛−1=𝑎𝑛−1+12𝑛≥2,𝑛∈𝐍∗②①—②，可得4𝑆𝑛−4𝑆𝑛−1=𝑎𝑛2−𝑎𝑛−12+2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，又𝑎𝑛+𝑎𝑛−10，所以𝑎𝑛−𝑎𝑛−1−2=0，所以𝑎𝑛+𝑎𝑛−1𝑎𝑛−𝑎𝑛−1−2=0.即2𝑎𝑛+𝑎𝑛−1=𝑎𝑛+𝑎𝑛−1(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)，即𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=2𝑛≥2,𝑛∈𝐍∗，因此数列𝑎𝑛为等差数列，且首项为1，公差为2.故𝑎𝑛=2𝑛−1(𝑛∈𝐍∗).【评注】本题是关于通项𝑎𝑛与和式𝑆𝑛的关系问题中第一个方向的典型题目，本题的闪光点是未给出𝑆𝑛的直接形式，需要考生稍加变形，转化为4𝑆𝑛=𝑎𝑛+12后，才能使求解方向变的更明朗.【例6.32】求数列的前项的和.【解析】数列的通项，即，所以数列的前项的和为即【评注】通过先分析数列的通项有何特点，再设法选择合适的方法求和是我们在求数列的前项和问题时应该强化的意识.2211,12,122,,1222,nn21122221nnna21nnan12121*(21)(21)(21)(222)2(12)22().12nnnnnSnnnnN1*22().nnSnnNn题型79数列的求和【例6.33】已知等差数列𝑎𝑛中，𝑎2=9，𝑎5=21，𝑏𝑛=2𝑎𝑛.求数列𝑏𝑛的前𝑛项和𝑆𝑛.【分析】根据数列𝑎𝑛为等差数列，𝑎2=9，𝑎5=21，求出数列𝑎𝑛的通项，从而知数列𝑏𝑛为等比数列，利用等比数列的求和公式求𝑆𝑛.【解析】设等差数列𝑎𝑛的首项为𝑎1，公差为𝑑，依题意得𝑎1+𝑑=9𝑎1+4𝑑=21，解得：𝑎1=5𝑑=4.数列𝑎𝑛的通项公式为𝑎𝑛=4𝑛+1,由𝑏𝑛=2𝑎𝑛得𝑏𝑛=24𝑛+1,因为𝑏𝑛+1𝑏𝑛=24𝑛+524𝑛+1=24,于是得数列𝑏𝑛的前𝑛项为𝑆𝑛=25[1−24𝑛]1−24=32(24𝑛−1)15.【评注】针对数列的结构特征，结合数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差等比数列的求和公式求解.所以数列𝑏𝑛是首项为𝑏1=25,公比为𝑞=24的等比数列,【例6.34】已知数列𝑎𝑛的前𝑛项和𝑆𝑛，且𝑆𝑛=2𝑎𝑛−2（𝑛∈𝐍∗），数列𝑏𝑛中，𝑏1=1,点𝑃(𝑏𝑛,𝑏𝑛+1)在直线𝑥−𝑦+2=0上.（1）求数列𝑎𝑛，𝑏𝑛的通项公式；（2）设𝑐𝑛=𝑎𝑛∙𝑏𝑛，数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求𝑇𝑛.【解析】（1）因为𝑆𝑛=2𝑎𝑛−2①所以𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−1−2𝑛≥2,𝑛∈𝐍∗②由①—②得𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，得𝑎𝑛=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，故𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1.令𝑛=1，𝑎1=2𝑎1−2，得𝑎1=2，𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1=2𝑛(𝑛∈𝐍∗).因为点𝑃(𝑏𝑛,𝑏𝑛+1)在直线𝑥−𝑦+2=0上，所以𝑏𝑛−𝑏𝑛+1+2=0，𝑏𝑛+1=𝑏𝑛+2，则𝑏𝑛是首项为1，公差为2的等差数列，𝑏𝑛=𝑏1+𝑛