2012届高考一轮复习数学理科课件(两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换)

教材面面观1．两角和与差的正余弦公式：cos(α＋β)＝________；cos(α－β)＝________；sin(α＋β)＝________；sin(α－β)＝________.答案cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ2．两角和与差的正切公式：tan(α＋β)＝________；tan(α－β)＝________(α、β≠kπ＋π2，α－β≠kπ＋π2，k∈Z)．答案tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ3．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝________，sinφ＝________，tanφ＝________.φ的终边所在象限由________来确定，角φ称为辅助角．答案aa2＋b2ba2＋b2baa、b的符号考点串串讲1．两角和与差的三角公式需理解(1)理解运用公式时应注意的几个问题①诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，α、β中有为π2的整数倍时，使用诱导公式更灵活、简便．②要真正明确两角和与两角差的三角函数的意义一般情况下，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ，cos(α＋β)≠cosα＋cosβ.只有在特殊情况下，才有可能sinα＋sinβ＝sin(α＋β)．③对于两角和与差公式的异同要进行对比与分析，便于理解、记忆和应用．(ⅰ)明确角、函数和排列顺序以及式中每一项的符号．(ⅱ)要牢记公式，并能熟练地进行左右两边的互相转化．(2)常见的角的代换有：α＝(α＋β)－βα＝β－(β－α)α＝12[(α＋β)＋(α－β)]α＝12[(β＋α)－(β－α)]角的代换实质是根据题意的需要把角看活，要在活字上作文章．(3)公式的逆向变换、多向变换使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式用活显得更加重要，这是学好三角函数的基本功．如两角和的正切公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，就必须掌握如下的一些变换：tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan(α＋β)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋βtanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)－tanα－tanβ(4)引入辅助角的变换形如asinx＋bcosx(a、b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式．这里A＝a2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2，φ的终边所在象限由a和b确定．2．二倍角的正弦、余弦、正切(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2αtan2α＝2tanα1－tan2α公式的推导：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令α＝β即可推得倍角的正弦、余弦、正切公式．从推导中可发现，二倍角公式是和角公式的特殊情况．(2)应注意的地方①对于“二倍角”的理解，不单纯是α与2α的关系，而应有更广泛的理解．如4α是2α的二倍角；3α是3α2的二倍角；α是α2的二倍角；α3是α6的二倍角等等．②当α＝kπ＋π2(k∈Z)时，tanα的值不存在，这时求tan2α的值可利用诱导公式．即tan2α＝tan2(kπ＋π2)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0.③公式的逆向变换与有关变形1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2a1＋cosα＝2cos2α2b1－cosα＝2sin2α2ccos2α＝12(1＋cos2α)dsin2α＝12(1－cos2α)e上述公式中，b、c又称为升幂公式，d、e又称为降幂公式．(3)知识的延伸及扩展①三倍角公式sin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα②半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα③万能公式sinα＝2tanα21＋tan2α2cosα＝1－tan2α21＋tan2α2tanα＝2tanα21－tan2α2④和差化积公式sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cosα－β2sinα－sinβ＝2cosα＋β2sinα－β2cosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2cosα－cosβ＝－2sinα＋β2sinα－β2⑤积化和差公式sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]3．三角函数的求值、化简和证明(1)三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角①给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异．一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的．在解给值求角的题型时需注意角的范围．(2)三角式的化简这类问题主要是利用诱导公式、同角关系式、和与差的公式及倍角公式将较复杂的三角式化得较为简单，化简时注意最简式的五种形式和要求．①化简三角函数式的意义是为更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．②化简三角函数式的要求：(ⅰ)能求出值种数尽量少．(ⅱ)使项数尽量少．(ⅲ)尽量使分母不含三角函数．(ⅳ)尽量使被开方数不含三角函数．③化简常用的技巧(ⅰ)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；(ⅱ)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质；(ⅲ)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用；(ⅳ)注意利用角与角之间的隐含关系；(ⅴ)注意利用“1”的恒等变形；(ⅵ)注意条件的合理使用：尽可能不去破坏条件的整体结构，即要把所求式子适当变形，能使条件整体代入；将条件适当简化、整理或重新改造、组合，使其与所求式子更吻合．④作为三角变换的基础的三角式的化简，有三种基本类型：根式形式、分式形式、多项式形式．常用方法有：公式法、切割化弦法、异名化同名、异角化同角．(3)三角恒等式的证明恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种．①无条件的等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．②有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系，灵活使用条件，变形得证.典例对对碰题型一两角和与差的三角公式应用例1求下列各式的值：(1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°；(2)sin75°－sin15°；(3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°；(4)cos15°－sin15°cos15°＋sin15°.解析充分利用公式，把已知的角化为可求的特殊角．(1)原式＝cos80°cos35°＋sin80°sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22.(2)原式＝sin(45°＋30°)－sin(45°－30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°－sin45°cos30°＋cos45°·sin30°＝2cos45°sin30°＝2×22×12＝22.(3)∵tan45°＝tan(30°＋15°)＝tan30°＋tan15°1－tan30°tan15°，∴tan30°＋tan15°＝1－tan30°tan15°.∴原式＝tan30°＋tan15°＋tan30°tan15°＝1.(4)原式＝1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.变式迁移1已知△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0.求角A、B、C的大小．解析由sinB＋cos2C＝0得sinB＝－cos2C＝sin(3π2－2C)．由0＜B、C＜π，所以B＝3π2－2C或B＝2C－π2.即B＋2C＝3π2或2C－B＝π2.由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0.所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0.即sinB(sinA－cosA)＝0.因为sinB≠0，所以cosA＝sinA.由A∈(0，π)，知A＝π4.从而B＋C＝3π4，知B＋2C＝3π2不合要求．再由2C－B＝π2，得B＝π3，C＝5π12.所以A＝π4，B＝π3，C＝5π12.题型二二倍角公式的应用例2化简：(1)cos72°·cos36°；(2)cos20°·cos40°·cos60°·cos80°；(3)cosα·cosα2·cosα22·cosα23·…·cosα2n－1.解析(1)cos36°·cos72°＝2sin36°·cos36°·cos72°2sin36°＝2sin72°·cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14.(2)原式＝12cos20°·cos40°·cos80°＝sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°16sin20°＝116.(3)原式同乘除因式sinα2n－1，然后逐次使用倍角公式解得原式＝sin2α2nsinα2n－1.点评解的过程中反复地使用二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.要注意到凡是角是二倍角关系的余弦函数的连乘积问题时，可采用类似的方法解之.变式迁移2化简：(1tanα2－tanα2)·(1＋tanα·tanα2)．解析原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosα·cosα2＝2cosαsinα·cosα－α2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.题型三角的凑配例3已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．分析注意到(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)．欲求sin(α＋β)，即求－cos(π2＋α＋β)，这只需求出cos(3π4＋β)和sin(π4－α)的值．因此“整体变换”的方法是解本题的合理选择．解析－π2＜π4－α＜0，∴sin(π4－α)＝－45，3π4＜3π4＋β＜π，∴cos(3π4＋β)＝－1213.sin(α＋β)＝－cos[π2＋(α＋β)]＝－cos[(3π4＋β)－(π4－α)]＝－cos(3π4＋β)·cos(π4－α)－sin(3π4＋β)·sin(π4－α)＝1213×35－513×(－45)＝5665.点评角度的和差之间相差kπ或kπ＋π2(k∈Z)时，可以用诱导公式进行变换．本题若从已知直接去求sinα、cosα、sinβ、cosβ，则解题过程十分复杂．因此类似问题中应考虑优先使用上面的简捷解法.变式迁移3已知sinα＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限的角，那么tanβ的值是()A.43B．－43C．7D．－7答案D解析由sinα＝45，α是第二象限角，可得tanα＝－43，从而tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β