福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第34讲 数列求和

1.熟练掌握等差、等比数列的求和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.数列求和的常见方法:1.公式法常用的公式有：(1)等差数列{an}的前n项和Sn=①=②.(2)等比数列{an}的前n项和Sn=③=④(q≠1).(3)12+22+32+…+n2=⑤.(4)13+23+33+…+n3=⑥.1()2nnaana1+d(1)2nn1(1)1naqq11naaqqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)2143.分组转化法分析通项虽不是等差或等比数列，但它是等差数列和等比数列的和的形式,则可进行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和，如求{n(n+1)}前n项的和.4.错位相减法利用等比数列求和公式的推导方法求解，一般可解决型如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和，如求数列{n·3n}的前n项和.5.裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，它适用于通项为的前n项求和问题，其中{an}为等差数列，如=(-).11nnaa11nnaa1d1na11na常见的拆项方法有：(1)=⑦;(2)=⑧;(3)=⑨;(4)=⑩;1(1)nn111nn1()nnk111()knnk1(1)(2)nnn111[]2(1)(1)(2)nnnnn1ab1()abab6.并项法将数列的每两项(或多次)并到一起后，再求和，这种方法常适用于摆动数列的求和.1.(2012·湖南十校)数列112，314，518，…的前10项之和是()A．55511512B．100511512C．10010231024D．5510231024【解析】S10＝(1＋12)＋(3＋14)＋(5＋18)＋(7＋116)＋(9＋132)＋(11＋164)＋(13＋1128)＋(15＋1256)＋(17＋1512)＋(19＋11024)＝(1＋3＋5＋…＋19)＋(12＋14＋…＋11024)＝101＋192＋12[1－1210]1－12＝100＋10231024＝10010231024.2.(教材改编题)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S2011等于()A．1B.20112012C.40474048D.511512【解析】因为an＝1n－1n＋1，所以S2011＝11×2＋12×3＋…＋12011×2012＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(12011－12012)＝1－12012＝20112012.3.数列{(－1)n·n}的前2012项的和S2012＝()A．－2012B．－1006C．2012D．1006【解析】S2012＝－1＋2－3＋4－…－2011＋2012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2011＋2012)＝1006.4.数列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn1020，则n的最小值为10.【解析】由题意，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝1×[1－2n]1－2＝2n－1，所以Sn＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝2[1－2n]1－2－n＝2n＋1－n－2，若Sn1020，即2n＋1－n－21020，n∈N*，当n＝9时，210－9－2＝10131020；当n＝10时，211－10－2＝20361020，故n的最小值为10.5.设f(x)＝12x＋2，则f(x)＋f(1－x)＝22，并利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为32.【解析】f(x)＋f(1－x)＝12＋2x＋121－x＋2＝12＋2x＋2x2＋2·2x＝12＋2x＋12·2x2＋2x＝12＝22.又设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，所以2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]．所以2S＝12×22＝62，所以S＝32.一分组求和及并项法求和【例1】求和：(1)Sn＝1＋(3＋4)＋(5＋6＋7)＋(7＋8＋9＋10)＋…＋(2n－1＋2n＋…＋3n－2)；(2)Sn＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2.【解析】(1)因为an＝(2n－1)＋2n＋(2n＋1)＋…＋(3n－2)＝n2n－1＋3n－22＝52n2－32n，所以Sn＝52(12＋22＋32＋…＋n2)－32(1＋2＋…＋n)＝16n(n＋1)(5n－2)(n∈N*)．(2)当n是偶数时，Sn＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－3－7－…－(2n－1)＝－nn＋12.当n是奇数时，Sn＝1＋(32－22)＋(52－42)＋…＋[n2－(n－1)2]＝1＋5＋9＋…＋(2n－1)＝nn＋12.故Sn＝(－1)n－1nn＋12(n∈N*)．【点评】求数列的前n项和，首先要研究数列的通项公式的特点，再确定相应的求和方法．如本题中的(1)小题运用分组求和法；(2)小题中，由于an的项是正负相间，故采用并项求和法，但解题中要注意分奇数、偶数讨论．求值：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)．素材1【解析】因为Sn＝(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)．当a＝1时，Sn＝n－nn＋12＝－n2＋n2.当a≠1时，Sn＝a1－an1－a－nn＋12.所以Sn＝－n2＋n2a＝1a1－an1－a－nn＋12a≠1.二裂项相消法求和【例2】已知等比数列{an}的首项a1＝13，公比q满足q0，且q≠1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝log31an，试求数列{1bnbn＋1}的前n项和Sn；(3)试比较1b1b3＋1b2b4＋1b3b5＋…＋1bnbn＋2与34的大小．【解析】(1)依题意，10a3＝a1＋9a5，即103q2＝13＋13q4×9，整理得9q4－10q2＋1＝0，解得q2＝19或q2＝1，又q0，且q≠1，所以q＝13，此时，an＝a1·qn－1＝(13)n.(2)因为bn＝log31an＝－log3an＝n，1bnbn＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(11－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1.(3)因为1bnbn＋2＝1nn＋2＝12(1n－1n＋2)，所以原式＝12[(11－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n－1－1n＋1)＋(1n－1n＋2)]＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)＝34－12(1n＋1＋1n＋2)34对n∈N*恒成立．【点评】(1)若数列的通项能转化为an＝f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和，关键是裂项成功，如本例第(2)(3)问．(2)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项．1＋12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n＋n－1＝()A.n－1B.n－1－1C.nD.n＋1－1素材2【解析】因为1n＋n－1＝n－n－1，所以1＋12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n＋n－1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n－n－1)＝n，故选C.三错位相减法求和【例3】求和1a＋2a2＋3a3＋…＋nan(a≠0)．【解析】(1)当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.(2)当a≠1，且a≠0时，Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan，①1aSn＝1a2＋2a3＋…＋n－1an＋nan＋1，②由①－②，得(1－1a)Sn＝1a＋1a2＋…＋1an－nan＋1＝1a[1－1an]1－1a－nan＋1.两边同除以(1－1a)并整理得Sn＝aan－1－na－1ana－12.综上所述，Sn＝nn＋12a＝1aan－1－na－1ana－12a≠1.【点评】(1)若数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则数列{anbn}的前n项和可采用错位相减法求和；(2)当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论．(3)将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.素材3【解析】(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②①－②得，3n－1an＝13，an＝13n.在①中，令n＝1得a1＝13，适合an＝13n，所以an＝13n.(2)因为bn＝nan，所以bn＝n·3n.所以Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n.③所以3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④④－③得，2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n·3n＋1－31－3n1－3，所以Sn＝2n－13n＋14＋34.【点评】解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n－1·an}的前n项和，从而利用an与Sn的关系求出通项3n－1an，进而求得an；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．备选例题已知数列{an}、{bn}是各项均为正数的等比数列，记cn＝bnan(n∈N*)．(1)数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；(2)设数列{lnan}、{lnbn}的前n项之和分别为Sn、Tn.若a1＝2，SnTn＝n2n＋1，求数列{cn}的前n项之和．【解析】(1)证明：设数列{an}的公比为q1(q10)，数列{bn}的公比为q2(q20)，则cn＋1cn＝bn＋1an＋1·anbn＝bn＋1bn·anan＋1＝q2q1≠0，故数列{cn}是等比数列．(2)数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列，由条件得nlna1＋nn－12lnq1nlnb1＋nn－12lnq2＝n2n＋1，即2lna1＋n－1lnq12lnb1＋n－1lnq2＝n2n＋1，故对于任意n∈N*，(2lnq1－lnq2)n2＋(4lna1－lnq1－2lnb1＋lnq2)n＋(2lna1－lnq1)＝0，于是2lnq1－lnq2＝04lna1－lnq1－2lnb1＋lnq2＝02lna1－lnq1＝0，将a1＝2代入得q1＝4，q2＝16，b1＝8，从而有cn＝8·16n－12·4n－1＝4n，所以数列{cn}的前n项和为4＋42＋…＋4n＝43(4n－1)．(11)123qq若是等差、等比数列求和问题，则直接用公式求和，应注意公式的应用范围如等比数列求和时，要分和两类．非等差、等比数列求和问题，注意观察通项的形式与特点，善于将问题转化为等差、等比数列求和问题，或通过拆项或并项或错位相减或倒序相加求和．数列求和需熟练基本方法，积累一定．．．的经验．