高中数学必修五课件：3.1-1《不等关系与不等式》(人教A版必修5)

芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起给人以美的享受．原来，脚尖立起调整了身段的比例．如果设人的脚尖立起提高了m，则下半身长x与全身长y的比由xy变成了x＋my＋m，这个比值非常接近黄金分割值0.618.其中的数学关系是0.58≈xyx＋my＋m≈0.618，怎样判定“”的关系成立？事实上，要解决上述问题，需要用到本章的知识．本章共分为四节：第一节是不等关系与不等式，教材首先通过具体问题情境，使我们感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，然后提出如何用不等式研究及表示不等关系，最后给出了不等式的九条基本的性质；第二节是一元二次不等式及其解法，教材通过观察具体的二次函数图象及其相应的一元二次方程的关系，推出了一般的一元二次不等式的解集的求法，并且程序框图的形式归纳出了求解一般的一元二次不等式的基本过程；第三节是二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题，教材从研究具体的不等式的解集所表示的平面区域入手，推广到一般的二元一次不等式Ax＋By＋C0(或Ax＋By＋C0)的解集所表示的平面区域，进一步说明简单的线性规划的意义与有关概念，并介绍了线性规划问题的图解方法，还说明了线性规划在实际生活中的简单应用；第四节是基本不等式：ab≤a＋b2，以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景，抽象出不等式a2＋b2≥2ab，在此基础上从三种不同角度认识基本不等式ab≤a＋b2(a0，b0)，并用此基本不等式解决实际问题中的最大(小)值的问题．1．由于不等式的性质是这一章的基础，故掌握不等式的性质是学好本章的关键．2．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确地求解．于是，在学习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练．3．不等式、函数、方程三者密不可分、相互联系、相互转化，平时学习中要加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．4．不等式知识在解决实际问题中有着十分重要的作用，要善于建立合理的不等式模型，解决生活中的实际问题．§3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小1．含有不等号的式子叫不等式．若a，b是两实数，那么a≥b即为；a≤b即为.2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数．“≠”“”“”“≥”或“≤”ab或a＝bab或a＝b大3．若a，b∈R，则在a＝b，ab，ab三种关系中，种关系成立．4．若a，b∈R，则⇔ab，⇔a＝b，⇔ab.有且仅有一a－b0a－b＝0a－b01．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关解析：∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1＝x2－x＋14＋34＝(x－12)2＋340.∴MN.答案：A2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()答案：BA．v≤120(km/h)或d≥10(m)B.v≤120km/hd≥10mC．v≤120(km/h)D．d≥10(m)3．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个方案：方案A为每年投资20万元；方案B为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．要表示“经过n年之后方案B的投入不少于方案A的投入”应列的不等式为________．(不用化简)4．已知x1，则x2＋2与3x的大小关系为________．解析：(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)．∵x1，∴x－10，x－20，∴(x－1)(x－2)0，∴x2＋23x.答案：x2＋23x解：加糖前糖水浓度为ba，加糖后糖水浓度变为b＋ma＋m，根据题意，有bab＋ma＋m(ab0，m0)．5．在日常生活中，“糖水加糖更甜”，即加糖溶化后，糖水的浓度变大了．若a克糖水中含b克糖，再加m克糖溶化后，则糖水更甜，你能用一个不等式来表示这个关系吗？[例1]两种药片的有效成分如下表所示.若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打，28mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．成分药片阿司匹林(mg)小苏打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)176[分析]要注意“至少”的含义，同时还应保证两种药片的数量均非负这一隐含条件．[解]设提供A药片x片、B药片y片．由题意，得迁移变式1一个盒子中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式将题中的不等关系表示出来．解：列不等式组，涉及到“至少”、“至多”问题，要用到“≥”或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，据题意可得y2≤z≤x3y＋z≥55(x，y，z∈N＋)．[例2]比较3＋5与4的大小．[分析]要比较3＋5与4的大小，直接作差后很难判定差的符号，如果把两数平方后作差，差式中仍含一无理式，可第二次平方相减判断符号．[解]∵(3＋5)2－42＝3＋5＋215－16＝2(15－4)，又(15)2－42＝－10，∴2(15－4)0，则3＋54.[点评]要比较大小的两个实数中有无理数，不能直接作差，可作它们的平方差．迁移变式2比较3＋7与25的大小．解：(3＋7)2－(25)2＝(10＋221)－20＝2(21－5)．∵(21)2－52＝21－25＝－40，∴2(21－5)0，∴3＋725.[例3](1)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小．(2)已知a0且a≠1，p＝loga(a3＋1)，q＝loga(a2＋1)，比较p与q的大小．[分析]本题考查两数(式)大小的比较，可作差比较，并注意(2)中须分类讨论．[解](1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4)＝m3(m－n)－n3(m－n)＝(m－n)(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)，∵m≠n，∴(m－n)20.又∵m2＋mn＋n2＝(m＋n2)2＋3n240，∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)0.∴x－y0.∴xy.(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaa3＋1a2＋1，当a1时，a3＋1a2＋1，∴a3＋1a2＋11.∴logaa3＋1a2＋10；当0a1时，a3＋1a2＋1，∴a3＋1a2＋11.∴logaa3＋1a2＋10.综上可得p－q0，∴pq.[评析](1)中是通过因式分解和配方法来判断差的符号，(2)中是通过分类讨论来判断差的符号．这三种方法都是判断差的符号的常用方法．迁移变式3比较下面两个代数式的大小：(1)x2＋3与3x；(2)已知a、b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2.解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－32)2＋34≥340，∴x2＋33x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a0，b0且a≠b，∴(a－b)20，a＋b0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)0，即a3＋b3a2b＋ab2.[例4]建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析]可先设出住宅窗户、地板面积分别为a、b，根据问题要求ab且ab≥10%，然后同时增加的面积为m，得到a＋mb＋m，用比较法判断a＋mb＋m与ab的大小即可．[解]设住宅窗户面积、地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求ab，且ab≥10%.由于a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m0，于是a＋mb＋mab.又ab≥10%，因此a＋mb＋mab≥10%.所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．[点评]实数大小比较的依据，给我们提供了比较两个实数大小的方法，同时也是我们解决有些实际问题的有效途径．迁移变式4如图1，y＝f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)；(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)?解：(1)当销售量大于a吨时，即xa时，公司赢利，即f(x)g(x)；(2)当销售量小于a吨时，即0≤xa时，公司亏损，即f(x)g(x)．1．比较实数大小的依据．实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系．那些表示实数的点在数轴上有次序地(无缝隙地)排列．数轴上的一个动点向着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大，由此可以得到下面两个结论：(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；(2)对于任意两个实数a和b，在a＝b，ab，ab三种关系中，有且仅有一种关系成立．2．比较两个实数大小的方法．如果a－b是正数，那么ab；如果ab，那么a－b是正数．如果a－b是负数，那么ab；如果ab，那么a－b是负数．如果a－b等于零，那么a＝b；如果a＝b，那么a－b等于零．