高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.2.1(二)

课前自学课堂互动课堂达标1.2.1任意角的三角函数(二)目标定位1.认识单位圆中任意角的正弦线、余弦线和正切线；2.利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角函数问题.课前自学课堂互动课堂达标1.三角函数的定义域自主预习正弦函数y＝sinx的定义域是___；余弦函数y＝cosx的定义域是___；正切函数y＝tanx的定义域是_____________________________.{x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z}RR课前自学课堂互动课堂达标2.三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段____、____、____分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sinα＝____，cosα＝___，tanα＝___.MPOMATMPOMAT课前自学课堂互动课堂达标即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于正弦线平行于y轴，余弦线在x轴上、它们没法比较大小.()(2)π2角的余弦线不存在.()(3)根据单位圆中正弦线，余弦线的变化规律可知|sinα|≤1，|cosα|≤1.()(4)π2角的正切线不存在.()××√√课前自学课堂互动课堂达标提示(1)可以比较大小.(2)π2角的余弦线变成了一个点而已.(3)对.(4)π2角的终边与x＝1平行，故其正切线不存在.课前自学课堂互动课堂达标2.角α(0α2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为()A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4解析∵正、余弦符号相异，故α在第二、四象限，又正、余弦线的长度相等，故α＝34π或α＝74π.答案D课前自学课堂互动课堂达标3.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A.正弦线PM，正切线A′T′B.正弦线MP，正切线A′T′C.正弦线MP，正切线ATD.正弦线PM，正切线AT解析由正弦、余弦、正切线定义可知A、B、D都错，故选C.答案C课前自学课堂互动课堂达标4.比较大小：sin1_______cos1.解析∵π41π2，故1rad的正弦线大于余弦线，sin1cos1.答案课前自学课堂互动课堂达标类型一任意角的三角函数线【例1】在单位圆中画出满足sinα＝12的角α的终边，并求角α的取值集合.解作直线y＝12交单位圆于P1，P2，则∠xOP1＝∠xOP2＝12，在[0，2π]内，∠xOP1＝π6，∠xOP2＝5π6，所以满足条件的角α的集合为{α|α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z}.课前自学课堂互动课堂达标规律方法作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处.课前自学课堂互动课堂达标【训练1】sin25π，cos65π，tan25π从小到大的顺序是_____.解析分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知：cos65π0，tan25π0，sin25π0.∵|MP||AT|，∴sin25πtan25π.故cos65πsin25πtan25π.答案cos65πsin25πtan25π课前自学课堂互动课堂达标类型二利用三角函数线比较大小【例2】分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin2π3和sin4π5，cos2π3和cos4π5，tan2π3和tan4π5的大小.课前自学课堂互动课堂达标解如图，sin2π3＝MP，cos2π3＝OM，tan2π3＝AT，sin4π5＝M′P′，cos4π5＝OM′，tan4π5＝AT′.显然|MP||M′P′|，符号皆正，∴sin2π3sin4π5；|OM||OM′|，符号皆负，∴cos2π3cos4π5；|AT||AT′|，符号皆负，∴tan2π3tan4π5.课前自学课堂互动课堂达标规律方法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负.课前自学课堂互动课堂达标【训练2】比较sin1155°与sin(－1654°)的大小.解先把两角化成0°～360°间的角的三角函数.sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°.在单位圆中，分别作出sin75°和sin146°的正弦线M2P2，M1P1(如图).∵|M1P1||M2P2|，符号为正，∴sin1155°sin(－1654°).课前自学课堂互动课堂达标类型三利用三角函数线解不等式(互动探究)【例3】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围.(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ32.课前自学课堂互动课堂达标[思路探究]探究点一如何找正弦线为32的角？提示直线y＝32交单位圆于A、B两点，则OA、OB即为正弦线为32的角.探究点二如何找余弦线为－12的角？提示作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，则OC、OD即为余弦线为－12的角.课前自学课堂互动课堂达标解(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即θ2kπ＋π3≤θ≤2kπ＋2π3，k∈Z.(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即θ2kπ－23π≤θ2kπ－π6或2kπ＋π6θ≤2kπ＋23π，k∈Z.课前自学课堂互动课堂达标规律方法三角函数线的应用实质是数形结合思想的应用，作三角函数线的前提是作单位圆.解形如f(α)≤m或f(α)≥m(|m|1)的三角不等式时，在直角坐标系及单位圆中，标出满足f(α)＝m的两个角的终边(若f为sin，则角的终边是直线y＝m与单位圆的两个交点与原点的连线；若f为cos，则角的终边是直线x＝m与单位圆的两个交点与原点的连线；若f为tan，则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同)，根据三角函数值的大小，找出α在0～2π内的取值，再加上2kπ(k∈Z).课前自学课堂互动课堂达标【训练3】求函数f(x)＝1－2cosx＋lnsinx－22的定义域.解由题意，自变量x应满足不等式组1cos,12cos0,22sin0.2sin.22xxxx即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数定义域为x|2kπ＋π3≤x2kπ＋34π，k∈Z.课前自学课堂互动课堂达标[课堂小结]三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.课前自学课堂互动课堂达标1.角π5和角6π5有相同的()A.正弦线B.余弦线C.正切线D.不能确定解析∵65π＝π＋π5，故它们有相同的正切线，故选C.答案C课前自学课堂互动课堂达标2.如果MP和OM分别是角α＝78π的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是()A.MPOM0B.OM0MPC.OMMP0D.MP0OM解析作α＝78π＝π－π8的正弦线和余弦线可知MP0，OM0，故选D.答案D课前自学课堂互动课堂达标3.若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝23，则这个三角形是_______(填三角形的形状).解析若α是锐角或直角，作出α的正弦线和余弦线，则sinα＋cosα≥1，故α是钝角.答案钝角三角形课前自学课堂互动课堂达标4.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，若α∈[0，2π)，求α的取值范围.解∵点P在第一象限内，sincos0,sincos,tan0,tan0.结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α2π.可知π4απ2或πα5π4.