线面积分

院（系）班级学号姓名·1·第十章曲线积分与曲面积分1-1第一型曲线积分基础题1．光滑曲线(),()()xttyt的弧微分ds。由此，圆周cos,(02)sinxRyR的弧微分ds。2．算下列对弧长的曲线积分：（1)Ldsyx)(，其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；（2)Lyxdse22，其中L为圆周222xyR，直线xy及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；3)2221dszyx，其中为曲线tttezteytex,sin,cos上相应于t从0变到2的这段弧；院（系）班级学号姓名·1·4)Ldsyx)(22，其中L为曲线)cos(sin),sin(costttaytttax)20(t。提高题1．计算2Lxds，其中L为球面2222xyza被平面0xyz所截得的圆周。院（系）班级学号姓名·1·1-2第二型曲线积分基础题1．力(,)((,),(,))FxyPxyQxy沿光滑曲线弧L所做功的微元dW，其中(,),(,)PxyQxy在L上连续。2．计算第二型曲线积分1)Lxydx，其中Ｌ为圆周222()(0)xRyRR及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。2）dzyxydyxdx)1(，其中是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线。(3)22Lxdxydyxy，其中L是圆周222xya以逆时针方向。院（系）班级学号姓名·1·提高题1．计算Ldyxydxyx)()(，其中L是：（1）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；（2）曲线11222tyttx，　上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。2.求在力作用下，(1)质点由(,0,0)Aa沿螺旋线1L到(,0,2)Bab所做的功，其中1:cos,sin,,02Lxatyatzbtt；(2)质点由A沿直线x=a,y=0到B所做的功.院（系）班级学号姓名·1·1-3积分与路径无关以及格林公式基础题：1.利用曲线积分计算由星线taytax33sin,cos所围成图形的面积2．计算曲线积分Lyxyxxy)(2dd22，其中L为圆周2)1(22yx，Ｌ的方向为逆时针方向。3．证明下列曲线积分在整个xOy平面内与路径无关，并求其值：(,)22(0,0)(2cossin)(2cossin)xyxyyxdxyxxy。院（系）班级学号姓名·1·提高题1．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积（1）星形线：33cos,sin;xatybt（2）双绞线：22222()().xyaxy2．计算曲线积分Lxxyyxyyd)2cose(d)2sine(，其中L为上半圆周222(),0xRyRy，沿逆时针方向。3．选择,ab使得yxybxxxyayd)2(d)2(22是某一函数),(yxuu的全微分，并求出),(yxuu。院（系）班级学号姓名·1·1-4第一型曲面积分基础题1．(1)光滑曲面(,)zfxy的面积微元dS。2)光滑曲面(,)(,)(,)xxuvyyuvzzuv的面积微元222(,)(,)(,)ddd(,)(,)(,)yzzxxySuvuvuvuv，则球面sincossinsincosxRyRzR的面积微元dS；圆柱面cossinxRyRzz的面积微元dS。2．计算SdSz，其中S是球面2222xyza被平面z=h所截的顶部。3．计算曲面积分Syxd)(22，其中为锥面)(3222yxz被平面3,0zz所截得的部分。4．计算曲面积分Szyxd)(,其中为球面2222xyzR上(0)zhhR　的院（系）班级学号姓名·1·部分。提高题1．计算曲面积分2dzS,其中是圆锥表面的一部分：cossin,:sinsin,cos,xryrzz0,:02,raD其中为常数(02)2．求抛物面壳)10()(2122zyxz　的质量，此壳的面密度的大小为z。院（系）班级学号姓名·1·1-5第二型曲面积分基础题1.计算下列对坐标的曲面积分（1）ddxyzxy，其中是球面2221xyz在0,0xy部分并取球面外侧（2）yxzzyxfxzyzyxfzyxzyxfdd]),,([dd]),,(2[dd]),,([,其中),,(zyxf为连续函数，是平面1zyx在第四卦限部分的上侧。2．把对坐标的曲线积分yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),,(dd),,(dd),,(化成对面积的曲面积分，其中是平面63223zyx在第一卦限部分的上侧。院（系）班级学号姓名·1·提高题1.计算yxxzxzyzzyxydddddd，其中是平面1000zyxzyx,,,所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。2.设磁场强度为E(x,y,z)，求球内出发通过上半球面2222,0xyzaz的磁通量院（系）班级学号姓名·1·1-6高斯公式基础题1．(1)验证曲线积分()()()Lyzdxzxdyxydz与积分路径无关，并求被积原函数的表达式u(x,y,z)。2.利用高斯公式计算下列曲面积分：yxzxzyzyxdddddd,其中是界于0z和3z之间的圆柱体922yx的整个表面的外侧。3．计算yxyxxzxzzyzydd)(dd)(dd)(222，其中为锥面22yxz)0(hz的外侧。院（系）班级学号姓名·1·提高题1.应用高斯公式计算三重积分()Vxyyzzxdxdydz,其中V是由0,0,01xyz与221xy所确定的空间区域。2．设),,(),,(zyxvzyxu、均在闭区域上具有二阶连续偏导数，nvnu,依次表示),,(),,(zyxvzyxu、沿的外法线方向的方向导数，证明Snuvnvuzyxuvvudddd)(其中是空间闭区域的整个边界曲面。此公式叫“格林第二公式”。1-7斯托克斯公式院（系）班级学号姓名·1·基础题1.计算(2)()()Lyzdxxzdyyzdz，其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正方向。2．利用斯托克斯公式将曲线积分SnAdrot化为曲线积分，并计算积分值，其中,kxzjxyiyA2为上半球面221yxz的上侧，n是的单位法向量。3．计算向量场kxyjyzxizxA233)()(绕闭曲线0222zyxz:沿逆时针方向的环流量。提高题院（系）班级学号姓名·1·1.若L是平面coscoscos0xyzp上的闭曲线，他所包围的区域面积为S，求coscoscos,Ldxdydzxyz其中L依正向进行。4.设向量场(,,)((,,),(,,),(,,))AxyzPxyzQxyzRxyz及数量场(,,)uxyz均为光滑的，计算div(rot)A及rot(grad)u。院（系）班级学号姓名·1·第一章自我测试题一、填空题（5×2=10）1．设C为正方形)0(||||aayx的边界，则曲线积分Csxyd;2.设C是以点)1,1(A，)2,2(B和)3,1(C为顶点的三角形的正向边界曲线，则曲线积分CyyxxyxId)(d)(2222；3．已知曲面):122zyxz（，则Szd41；4．若为光滑封闭曲面，V为其所围立体的体积，cos,cos,cos为的外法线的方向余弦，则曲面积分Szyxd)coscoscos(.二、（16）计算SIxzdydzyxdzdxzydxdy，其中S是柱面221xy在11z和0x的部分。曲面的法向与x轴成锐角。三、（16）设)(xg连续，且001)()(gg，计算LyyygxxyyxgId])([d])(2[2，其中L是过三点),(),,(412100BA和),(11C，其对称轴与y轴平行的抛物线。四、（6）计算第二型曲面积分()()()sIfxdydzgydzdxhzdxdy其中S是平行六面体(0,0,0)xaybzc的表面并取外侧为正向，f(x)、g(y)、院（系）班级学号姓名·1·h(z)为S的连续函数。五、（6）求均匀曲面2222xyza，0,0,0xyz的重心。六、（10）证明，若是任意光滑闭曲面，l为任一固定方向，则0dcosS，其中是上任意一点处的外法线n和l的夹角。院（系）班级学号姓名·1·七、(10)设p表示从原点到椭球面1222222czbyax上),,(zyxW点的切平面的垂直距离，求证abcSp4d，式中为椭球面1222222czbyax。院（系）班级学号姓名·1·第一章重点与难点分析1.正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。2.熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲面积分之间的相互关系。3.掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面积分与积分路径无关的条件。掌握二元函数全微分方程的求解方法。4.掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与散度。5.会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心转动惯量、功及流量等）一、曲线积分化为定积分1．计算第一型曲线积分22xyLeds，其中L为曲线(0)4a的一段。解：2224004xyaaLedseadae2．计算第二型曲线积分Lydxzdyxdz，其中L是曲线2222221,1,0,0,0xyzxyxyzabcab(0,0,0)abc从点(,0,0)a到(0,0,)c解：设x=at，z=c(1-t)，y=22btt起点t=1，终点t=0。因此022212230(1)(12)[2](tcos)22(sinsincoscossin)222222()242ttabttbcactdtttabbcacdbacac原积分令二、格林公式计算曲线积分1.222()()Lxydxxydy其中L是以A(1,1)，B(3,2)，C(2,5)为顶点的三角形，方向取正。解：222()()Lxydxxydy院（系）班级学号姓名·1·12(42)(42)(42)2463SSSxydxdyxydxdyxydxdy三、曲面积分的计算1.计算下第一型曲面积分SxyzdS，其中S为平面x+y+z=1在第一卦限的部分解：因为z=1-x-y,2213xyzz所以10,01122003(1)33()120DxyxyxxyzdSxyxydxdydxxyxyxy2.计算下第二型曲面积分222Sxdydzydzdxzdxdy，其中S是球面2222()()()xaybzcR并取外侧为正向。解：对于积分2Szdxdy，S可以表示成222()(),(,)xyzcRxaybxyD那么2Szdxdy22222222222[()()][()()]4()()xyxyxyDDDcRxaybdxdycRxaybdxdycRxaybdxdy