空间向量与立体几何复习

空间向量与立体几何知识复习平行：a//b存在实数λ，使a＝λb；垂直：0abab；0332211bababababa112233//,,()ababababR332211bababa②111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，212121(,,)ABxxyyzz2222212121||()()()ABABxxyyzz112233222222123123cos||||ababababababaaabbb夹角长度公式：①123(,,)aaaa则222123||aaaa121212(,,)222xxyyzzAB中点求平面的法向量步骤：),,()1(zyxn设出平面的法向量为(2),ABCD找出平面内两个相交的向量，0(3),,0nABxyznCD由列关于的方程组(4)解方程组，令其中一个量的值求另外两个，即得法向量。设直线,lm的方向向量分别为,ABCD，平面,的法向量分别为12,nn，l∥mAB∥CDABkCD；线面平行∥1n∥2n12nkn线线平行:l∥AB1n10ABn；面面平行一、平行关系：312123==xxxyyynalmab2n1nABABCDla设直线,lm的方向向量分别为,ABCD，平面,的法向量分别为12,nn，l⊥mAB⊥CD0ABCD；线面垂直：⊥1n⊥2n120nn线线垂直:面面垂直：二、垂直关系：l⊥AB1∥n1kABn；(2)(1)直线的向量与平面内的两个相交向量垂直lABnla1n2nABAB(1)(2)一：异面直线所成的角：空间角的计算----定义：→向量法cos=②求求异面直线AB,CD所成的角平移→相交线→锐角或直角cos,CDAB,,CDAB①求cos,CDAB求二、直线AB和平面所成的角：nAB,cos②求||nABnABsin③求nAB和平面法向量①求cos,ABnCDBAnBAo定义：平面的垂线为AO，斜线AB与射影BO所成的角.求斜线AB和平面所成的角：||ABCDABCD线面角正弦=斜线与法向量夹角余弦绝对值3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角为二面角10[0,]三、二面角：定义：注意三点：lABo范围：求法：(1)定义法：(2)向量法：关键：观察二面角的范围21,cosnn②求①找或求二面角面的法向量21,nn③下结论：二面角为锐角时，则二面角余弦取正值--------钝角-----，则---------------取负---coscos正值负值ll1n1n2n2n12nn，12nn，关键：观察二面角的范围向量法求二面角的步骤21,cosnn②求①找或求二面角面的法向量21,nn③下结论：二面角为锐角时，则二面角余弦取正值--------钝角-----，则---------------取负---coscos正值负值2、线面角：AOnB1、线线角：向量法求空间角：3、二面角①求两个平面的法向量；②求③下结论:若二面角θ为锐角，则若------θ为钝--，则12cos,nn12,nncoscos1n2nsincos,ABncoscos,ABCD正值负值CDBA线面角正弦=斜线与法向量夹角余弦绝对值关键：观察二面角的范围||nABnAB2.m=(2,-2,1)，n=(2,2,-1)求nm,cos=？3.A(1,3,-2)、B(-2,3,2)，则A,B两点间的距离为4.A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为),3,2,1(.1ABAB则222)33()32()1(.4xxxAB||AB222212121()()()xxyyzz1932142xx123(,,)aaaa若，则222123||aaaa∴当|AB|取最小值时，x=78课时作业P108.1(2)求点B1到平面A1BD距离直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点(1)求证:B1C∥平面A1BD课时作业P112.43)0,0,0(D311)0,22,0(B)0,0,1(C)0,0,1(A)3,0,1(1A)3,22,0(1B设平面A1BD的一个法向量为(,,)nxyz10nDA0nDB03zx022y得令1z(3,0,1)n)3,22,0(1DB1||||BDnn310310103311nDBDBd,cos11nDBDBd,cos11解建立空间直角坐标系，则C（0,2,0）、D1（0,0,2）、M（2,0,1）、N（2,2,1），∴CM＝（2,－2,1），ND1＝（2,2,－1），设CM与D1N所成的角为θ，1cos,CMDN3133144||11NDCMNDCM正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1、BB1的中点，求CM与D1N所成角的余弦值；cos=11cos,3CMDN∴CM与D1N所成角的余弦值为31如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，求BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值。解：建立如图所示空间坐标系，则DB→＝(2,2,0)，DD1→＝(0,0,1)，BC1→＝(－2,0,1)．设平面BD1的法向量n＝(x，y，z)．∴n·DB→＝2x＋2y＝0，n·DD1→＝z＝0，∴n＝(1，－1,0)．|cos〈n，BC1→〉|＝|BC1→·n||BC1→||n|＝25·2＝105设BC1与面BD1所成的角为θ，则sinθ＝105.yzxO515sin1cos2令x=1得例:的棱长为1.1.BD求二面角A--C的大小解建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yz平面ABD1的一个法向量为1(0,1,1)n平面CBD1的一个法向量为2(1,0,1)n121cos,2nn10.BD二面角A--C的大小为12∵二面角为钝角1cos221.ABCD是正方形，面VAD是正△，平面VAD⊥底面ABCD．(1)证:AB⊥平面VAD．(2)求二面角A-VD-B余弦值分析：取AD中点O，则VO⊥AD∵平面VAD⊥底面ABCD．∴VO⊥底面ABCD，建立如图空间直角坐标系，设正方形边长为2，由=0，得，由=0，得，又AB∩AV=A，∴AB⊥平面VAD．(2)由(1)得平面VAD法向量为)0,2,0(AB设平面VDB的法向量),,(zyxn∵二面角A-VD-B为锐二面角∴二面角A-VD-B余弦值为721721-,cosnAB可求0VBn0BDn)3,0,0()0,2,1()0,0,1(D)33,1,1(n032zyx022yxo10.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=2．(1)证：DE⊥AC；(2)求DE与平面BEC所成角正弦值；建立空间直角坐标系，求点取BD中点O.连接CO,由题意得CO⊥BD又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，oA)0,1,1(O，令x=1设DE与平面BCE所成角为θ0202zyxzx)2,1,1(n)2,1,1(C)2,2,0(DE设平面BCE法向量为),,(zyxn建立空间直角坐标系,求点长方体，AA1=AD=1，E为CD中点．(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？(3)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．(2)假设在AA1上存在一点P(0，0，t)使得DP∥平面B1AE．),1,0(tDP设平面B1AE的法向量则),,(zyxnn⊥B1A，n⊥AE得取x=1得),2,1(aan要使DP∥平面B1AE，需n⊥DP即n•DP=0，得2a﹣at=0，解得t=，即P（0，0，）(3)设平面B1A1E一个法向量),,(zyxm)1,1,0(m可求nm,cos由已知23nmnm23412222aaaa即得a=2∴AB长为22354232aa即