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1温故知新:与平面类似,定义空间两个非零向量ab、的数量积ab:cos,ababab①22||aa即2||aa(求线段的长度);②ab0ab(垂直的判断);③cos,ababab(求角度).以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.也有下列三个重要性质:abab,ab24.如图,在空间四边形ABCD中,2AB,3BC,23BD,3CD,30ABD,60ABC,求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆解:∵CDBDBC,∴ABCDABBDABBC||||cos,ABBDABBD||||cos,ABBCABBC223cos15023cos120633∴31cos,232||||ABCDABCDABCD,∴AB与CD的夹角的余弦值为12.说明:由图形知向量的夹角时易出错,如,150ABBD易错写成,30ABBD,注意推敲!3逆命题成立吗?思考课本例2(98P):在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线,AO是PA在平面内的射影,l,且lOA,求证:lPAPOAl分析:用向量来证明两直线垂直,只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可!适当取向量尝试看看!a三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.解答4证明:如图,已知:,,,POAOllOA射影且求证:lPA在直线l上取向量,只要证a0aPA()0aPAaPOOAaPOaOA,aPAl即PA.为POAla0,0aPOaOA三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.逆命题成立吗?5反过来,在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗?三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.POAla已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线,AO是PA在平面内的射影,l,且lPA,求证:lOA分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.6解答分析:要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.llllmngmgml取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?共面向量定理,有了!ye!7lmngngml,gxmyn,lgxlmyln0,0,lmlm0,.lglg即,lgll即垂直于平面内任一直线..解:在内作不与m,n重合的任一直线g,在,,,lmng上取非零向量因m与n相交,故向量m,n,,,,lmng不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使(,)xy例3:已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.lll8空间向量基本定理在解题中的应用(习题课)9前面我们定义了空间向量的加、减、数乘、数量积四种运算,从而空间的有关问题可以转化为空间向量的这四种运算来处理.空间向量基本定理的应用(习题课)空间向量的正交分解另外,我们还发现类似平面向量基本定理,空间也有空间向量基本定理,也就是说:已知三个不共面向量abc、、,那么对于空间任一向量p,都存在有序实数组,,xyz,使得pxaybzc,而这种表示式是唯一的.把,,abc叫做空间的一个基底,,,abc叫做基向量.这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.10如果基向量ijk、、是空间三个两两垂直的向量,那么对空间任一向量p,存在一个有序实数组,,xyz使得pxiyjzk.把xiyjzk、、分别称为向量p在ijk、、上的分向量,这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.显然这种正交分解更有利于我们的问题解决,因为关于这些分向量的数量积运算非常简单.练习巩固下面通过一些练习来体会这种方法.11练习1.已知空间四边形OABC的四条边及、ACBO的长都等于1,点MNP、、分别是OABCOC、、的中点,且OAa,OBb,OCc,且它们两两之间的夹角均为600⑴用abc、、表示,MNMP;⑵求MNMP.分析:⑴这种表示式的寻找,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.⑵运用⑴的结果,可以把MNMP的计算转化为基向量abc、、的有关运算来处理,而且不用添辅助线及作证明.12练习1.已知空间四边形OABC的四条边及ACBD、的长都等于1,点MNP、、分别是OABCOC、、的中点,且OAa,OBb,OCc,且它们两两之间的夹角均为600⑴用abc、、表示,MNMP;⑵求MNMP.略解:⑴MNMOON11()22OAOBOC=1()2abcMPOPOM=1()2ca⑵易知12abbcca,2221abc,∴MNMP1413练习2.在长方体1111ABCDABCD─中,2AB,2BC,16AA,且记ABa,ADb,1AAc,⑴用abc、、表示11,BDBC;⑵求异面直线1BD和1BC所成角的余弦值.D1C1B1A1ABCD解:⑴11BDBAADDD=abc11BCBBBCcb⑵∵0abbcca,2224,4,36abc,∴11BDBC-32,1BD211,1BC210118110cos,110BDBC∴异面直线1BD和1BC所成角的余弦值为41105514思考1.已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点,且1SASBSCAB,,MN分别是AB,SC的中点,求异面直线SM与BN所成角的余弦值奎屯王新敞新疆分析:要求异面直线SM与BN所成角的余弦值,只要求SM与BN所成的角的余弦值.而适当选取一组基底,可把关于SM与BN的计算转化为基向量的有关运算来简便处理.15解:设SAa,SBb,SCc,则12abbcac,∵1()()2SMBNSASBSNSB11()()22abcb2111()222acabbcb1111111(1)2222222,所以,异面直线SM与BN所成角的余弦值为23.∴122cos,3||||3322SMBNSMBNSMBN,点评:设出空间的一个基底后,求数量积SMBN的时候目标就更加明确了,只要将SM与BN都化为用基向量表示就可以了奎屯王新敞新疆本题中SM与BN的夹角是异面直线SM与BN所成角的补角奎屯王新敞新疆16思考2:如图,长方体1111ABCDABCD中,4ABBC,E为11AC与11BD的交点,F为1BC与1BC的交点,又AFBE,求长方体的高1BB.分析:本题的关键是如何利用AFBE这个条件.在这里可利用0AFBEAFBE将其转化为向量数量积问题奎屯王新敞新疆而适当选取一组基底,又可把AFBE的计算转化为基向量的有关运算来简便处理.17解:设1,,ABaADbAAc,则0abbcca,2222||16,||16aabb则11BEBBBE=1()2cba1()2AFABBFacb∵AFBE∴BEAF=0即[1()2cba][1()2acb]=0∴2221110242cba∴22||8cc,即所求高122BB.点评:本题从表面上看是求线段长度,但实际上却是充要条件:AFBE0AFBE的应用问题奎屯王新敞新疆18学习小结:通过问题解决,可以看到适当地选取基底,空间向量都可用基向量来表示,这样不仅可以使解题的目标变得明确,思考的方向性强,而且有关的运算也将会简化.
本文标题:空间向量基本定理在解题中的应用习题课
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