正弦定理、余弦定理、解三角形

解三角形正弦定理（一）典型例题:1．在△ABC中，已知030,10,25Aca，则∠B等于（）A．0105B．060C．015D．0015105或2．在△ABC中，已知060,2,6Aba，则这样的三角形有_____1____个．3．在△ABC中，若5:3:1::cba,求CBAsinsinsin2的值．解由条件51sinsinCAca∴CAsin51sin同理可得CBsin53sin∴CBAsinsinsin2＝CCCsinsin53sin512＝51练习:一、选择题1．一个三角形的两内角分别为045与060，如果045角所对的边长是６，那么060角所对的边的边长为（）．Ａ．63Ｂ．23Ｃ．33Ｄ．622．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（）Ａ．RCcBbAa2sinsinsinＢ．RBa2sinＣ．aRA2sinＤ．BRbsin3．在△ABC中，AbBacoscos，则△ABC一定是（）Ａ．等腰三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形解：在△ABC中，∵AbBacoscos，∴aAbBcoscos，由正弦定理，得2222RAARBBABsincossincossinsin，∴。∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。故△ABC为等腰三角形或直角三角形。二、填空题4．在△ABC中，已知,6,8ba且Ｓ△ABC＝312，则Ｃ＝_0012060或______5．如果baBAcos1cos1，那么△ABC是__等腰三角形_____三、解答题6．在△ABC中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC＝４，求2sinB的值．解由条件,5,2acＳ△ABC＝Bacsin214sin5sin2521BB∴54sinB当B为锐角时，53cosB由512cos12sin2BB∴552sinB当B为钝角时，53cosB由542cos12sin2BB∴5522sinB7．在△ABC中，,,,cba分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若060,2ABab,求Ａ的值．解∵Ｂ＝Ａ＋060∴)60sin(sin0ABAABcos23sin21sin又ARBRabsin4sin2,2∴ABsin2sin∴AAAcos23sin21sin2AAcos3sin3∴,33tanA又∵001800＜A＜∴030A8．在△ABC中，求证：2222112cos2cosbabBaA解：.BbAasinsinbBaAsinsin22)sin()sin(bBaA2222sinsinbBaA222cos12cos1bBaA2222112cos2cosbabBaA1．1．1．正弦定理（二）典型例题:1．在△ABC中，已知045,1,2Bcb，则a的值为（）Ａ．226Ｂ．226Ｃ．12Ｄ．232．在△ABC中，已知0015,105,5CBa，则此三角形的最大边长为_________答案：6652153．△ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程06752xx的根，求△ABC的面积．解设两边夹角为α,而方程06752xx的两根122,3/5xx∴53cos∴54)53(1sin2∴Ｓ△ABC＝26545321cm练习:一、选择题1．在△ABC中，已知0075,60,8CBa，则b等于（）Ａ．24Ｂ．34Ｃ．64Ｄ．3322．在△ABC中，已知045,2,Bcmbxcma，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()Ａ.222＜x＜Ｂ．222＜xＣ．2x＞Ｄ．2x＜3．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m,则m的取值范围是（）Ａ．（０，＋∞）Ｂ．（21，＋∞）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（２，＋∞）二、填空题４．在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC的形状是一定是等腰三角形___解法1：由CBAsincossin2＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．解法2：由题意，得cosB＝sin2sin2CcAa，再由余弦定理，得cosB＝2222acbac．∴2222acbac＝2ca，即a2＝b2，得a＝b，评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．５．在△ABC中，已知31cos,23Ca，Ｓ△ABC＝34，则b___32______三、解答题６．已知方程0cos)cos(2BaxAbx的两根之积等于两根之和，且ba,为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状解：由方程两根之积为Bacos，方程两根之和为Abcos，∴AbBacoscos由正弦定理，得ABBAcossincossin即0)sin(BA∵00180180B＜＜A∴Ａ－Ｂ＝０∴Ａ＝Ｂ∴三角形为等腰三角形7．在△ABC中，3,2CAbca，求sinB的值。解由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB由22;22CACACCACAA得BCACAsin22cos2sin2即BCAsin6cos2sin即2sin23sinCAB∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝∴Ｂ＝－（Ａ＋Ｃ）222CAB∴2sin)22cos(2cosCACAB∴2cos232cos2sin2BBB∵02cosB∴432sinB∴413)43(12cos2B∴8394134322cos2sin2sinBBB8、在2545,10,cos5ABCBACC中，,求（1）?BC(2)若点DAB是的中点，求中线CD的长度。解：（1）由255cossin55CC得2310sinsin(18045)(cossin)210ACCC由正弦定理知10310sin32sin1022ACBCAB（2）105sin2sin522ACABCB，112BDAB由余弦定理知2222cos1182132132CDBDBCBDBCB9、如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.（1）证明sincos20;（2）若AC=3DC,求的值.解：(1)．如图3，(2)2,sinsin(2)cos2222，即sincos20．（2）．在ABC中，由正弦定理得3,.sin3sinsinsin()sinsinDCACDCDC由(1)得sincos2，2sin3cos23(12sin),即23323sinsin30.sinsin23解得或．30,sin,.223BDCαβA1．1．2．余弦定理（一）典型例题:1．在△ABC中，已知13,34,8cba，则△ABC的最小角为（）A．3B．4Ｃ．4Ｄ．12２．在△ABC中，已知060,3,1Acb，则a____7_____3．在△ABC中，已知030,35,5Acb，求CBa、、及面积S解由余弦定理，知Abccbacos22222530sin3552)35(5022∴5a又∵ba∴030AB∴00120180BAC432530sin)35(521sin210AbcS练习:一、选择题1．在△ABC中，如果bcacbcba3))((,则角Ａ等于（）Ａ．030Ｂ．060Ｃ．0120Ｄ．0150２．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）Ａ．0075,45,10CAbＢ．080,5,7AbaＣ．060,48,60CbaＤ．045,16,14Aba３在△ABC中，已知)(2222444baccba则角Ｃ＝（）Ａ．030Ｂ．060Ｃ．0013545或Ｄ．0120二、填空题4．已知锐角三角形的边长为1、3、a，则a的取值范围是___1022＜a＜______5、在△ABC中，6:5:4::baaccb，则△ABC的最大内角的度数是120°6．在△ABC中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_________32三、解答题7．在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,8,4cab,求ca、的长.解：由正弦定理，得CcAasinsin∵Ａ＝２Ｃ∴CcCasin2sin∴Ccasin2又8ca∴cccocC28①由余弦定理，得CCcCabbac222222cos1616cos4cos2②①入②，得)(44524516舍或acac∴516524ca，8．已知锐角三角形ABC中，边ba、为方程02322xx的两根,角A、B满足03)sin(2BA，求角C、边c及Ｓ△ABC。解02322xx，得X1=13,X2=13∵CCBAsin)sin()sin(∴23sinC由于△ABC为锐角三角形，∴Ｃ＝060由余弦定理，得Cabbaccos2222660cos)13)(13(2)13()13(cos2022212221Cxxxx∴6CＳ△ABC＝060sin)13)(13(21sin21Cac231．1．2．余弦定理（二）典型例题:1．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形2、△ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为(A)6(B)3(C)2(D)23解：222//()()()pqaccabbabacab，利用余弦定理可得2cos1C，即1cos23CC，故选择答案B。3.如图，在ABC中，120,2,1,BACABACD是边BC上一点，2,DCBD则ADBC.解：由余弦定理得222222cos22ABACBCABADBDBABACABBD可得7BC13,3AD，又,ADBC夹角大小为ADB，2223298cos29413791BDADABADBBDAD，所以8cos3ADBCADBCADB.练习:一、选择题1．在△中，,,分别是，，的对边，且则等于（）A．6B．3C．23D．56２．在△ABC中，若bcacbcba3))((，并有sinA＝２sinBcosC,那么△ABC是（）Ａ．直角三角形Ｂ．等边三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ．等腰直角三角形__________ABCabcABC2223bcbcaAABDC３．在ΔABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线BD=5，求sinA的值为（）Ａ．1770Ｂ．1270Ｃ．1470Ｄ．1410分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且36221ABDE，设BE＝x在ΔBDE中利用余弦定理可得：BEDEDBEEDBEBDcos2222，xx6636223852，解得1x，37x（舍去）故BC=2，从而22228AC=AB+BC-2ABBCcosB=3，即3212AC又630sinB，故22123sin306A