正弦定理、余弦定理公开课

正弦定理、余弦定理金东方高三数学组复习回顾正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：CBAcbasin:sin:sin::a2=b2+c2－2bccosAb2=a2+c2－2accosBc2=a2+b2－2abcosCcosA=cosB=cosC=abcba2222acbcabcacb22222222利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角。bCDaCDABsin,sin所以CD=asinB=bsinA,即,sinsinBbAa同理可得,sinsinCcBbCcBbAasinsinsin即：DCabAB图1过点C作CD⊥AB于D,此时有若三角形是锐角三角形,如图1,（法一）CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿上可得D若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2（法二）OC/cbaCBA',90CCCBARCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,RcCC2sinsin'RCc2sin向量的数量积，为向量a与b的夹角．cos||||baba如何构造向量及等式？jACB在锐角中，过A作单位向量j垂直于，ACABC则有j与的夹角为，j与的夹角为.等式A90CBC90ABCBACAB怎样建立三角形中边和角间的关系？ABjCBACj)()90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj　　AcCasinsin　即CcAasinsin同理，过C作单位向量j垂直于，可得CBCcBbsinsinCcBbAasinsinsin　　在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？jACB在钝角中，过A作单位向量j垂直于，ACABC则有j与的夹角为，j与的夹角为.等式.90ACBC90ABCBACAB同样可证得：CcBbAasinsinsin　1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______________(3sinsin)cossincos3sincossin.3sin0cos.3BCAACBABBA【解析】由题设，结合正弦定理得－＝，即＝因为，所以＝33课前热身3+3coscos,ABCabcabcabaBbAABC2.在中，，且则的形状为______3.在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则ABBC（）A-19B19C-38D38利用正余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝30°，则此三角形解的情况为________．sinsin3018sinbAbbAab因为＝＝12，所以，所以此三角形【解析】有两解．已知两边a、b和其中一边a的对角A(A为锐角)，解三角形的解的情况：absinAa＝bsinAbsinAaba≥b无解一解两解一解判断三角形的形状【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．若a＝ccosB，且b＝csinA，试判断△ABC的形状．222222290.RtsinacbacacabcCaaABCAbcaccABC由余弦定理得＝，整理得＋＝，所以＝在中，＝，所以＝＝，所以是等腰直角【解析】三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形．要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【变式练习】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，请判断△ABC的形状．22222222sin()sin()sincossincossinsincossinsin2sin2cossin2222.2abABabABaABAbABBBAABABABABABABABC【解依题意得＝，则＝＝，即＝，所以＝，则有＝或＋＝，即＝或＋＝所以为等腰三角形或直角析】三角形．正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用3sincos2.1sin233ABCACAAAABCSBC在中，已知＝，＋＝求的值；若的面积＝，求【例】的值．222sincos2sin()24sin()1.450444.424132·sin322.242cos29823225512.2AAAAAAAASACABAABABBCACABACABABC由＋＝＋＝，得＋＝由此及，即＋，得＋，故＝由＝＝＝，得＝由此及余弦定理得＝＋－＝＋－】＝，故【＝解析本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用．应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的．在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法．在三角函数的化简、求值中，常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．