正弦定理与余弦定理的应用

解三角形学习目标1.熟练掌握运用正余弦定理求解三角形2.能用正余弦定理判断三角形形状3.能用正余弦定理解决一些综合问题2sinsinsinabcRRABC1.正弦定理：为ABC外接圆半径2222222222cos2cos2cosbcAacBabCabcbaccab2.余弦定理：一、知识回顾：222222222cos2cos2cos2AbcBacCabbcaacbabc3.余弦定理推论：4.sinsinABCabABAB在中，变式及用法5.111sinsinsin222SabCbcAacB三角形面积公式：要牢记哟!二、正弦、余弦定理能解决哪几类问题?1.求解三角形问题：（1）已知三边，求解三角形;(2)已知两边及其夹角，求解三角形；（3）已知两角和任一边，求解三角形；（4）已知两边及其一边的对角，求解三角形知三求三，至少已知一边大边对大角，小边对小角例一：已知在ABC中,sinA:sinB:sinC=2:6:(13),求ABC的最小内角。解：a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:6:(13)设a=2k,b=6k,c=(13)ka边最小，A为最小内角cosA=kkkkk136241362222=2245A6,2,4526sin32sin22caAcACa解：因为由正弦定理因为ca,所以CA=45C=60或C=120例二：已知在ABC中，,45AAB=6,BC=2，解此三角形。626sin431sin32(2)12015626sin431sin32cBCCBcBbC（1）当C=60时，B=75,b=当时，，三角形有两解如右图所示：,ac一解Asin3cAc=6452aB1C2CE解法二：（余弦定理）设AC=b,由余弦定理有4=62)6(22b45cosb即02322bb，解得b=13,由余弦定理得cosC=21C=60或120，1575或B例三：在ABC中，若AbBatantan22,试判断ABC的形状。分析：边化角，角化边解：（法一）AbBatantan2242Rsin2AtanB=42Rsin2BtanASin2A=sin2BSin2A=sin2B0不符合三角形内角和定理Sin2A=sin2B02A,2B(0,)2A=2B或2A+2B=即A=B或A+B=2ABC是等腰三角形或直角三角形(法二)：由题设，有BABAsincoscossin=22ba，得出222222222222baRbbcacbacbcaRa化简得)()(22222222acbabcab422422bcbaca0))((22222cbaba22222cbaba或ABC是等腰三角形或直角三角形1、这节课我们主要学习了正余弦定理,应用正余弦定理解决的解三角形，分清情况具体解答问题，及判断三角形状时图和变化的（角化边或边化角）2.通过本节课学习,在研究数学问题时要掌握从特殊到一般、数形结合以及分类讨论的数学思想.四、小结：