正弦定理余弦定理的运用

121、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：R为△ABC的外接圆半径）3、正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA::sin:sin:sin2、三角形面积公式：CabBcaAbcSABCsin21sin21sin212sinsinsinabcRABC复习回顾3CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222变形abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222余弦定理：在中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：ABC;CBACBACBAcos)cos(,sin)sin(2sin2cos,2cos2sinCBACBA4几个概念：•仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;•俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；•方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。N方位角60度水平线目标方向线视线视线仰角俯角5三角形中的计算问题•面积计算公式：•S=1/2ah•S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB•海伦-秦九韶公式：S=abc/4R6,,,,,85,60,47,72,100,,,,,,(ABCDADCBDCACDBCDCDmABCDABm18P例1如图为了测量河对岸两点之间的距离在河岸这边取点测得设在同一平面内试求之间的距离精确到1)ABCDsin134.05()sinDCADCADCACmDACsinsin116.54()DCBDCBDCBCDBCm2222cos3233.9557().()ABCABACBCACBCACBABm答略P20练习1定理应用7//).AnmileCnmilehnmilehmin18P例2某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在处获悉,测出该渔船在方位角为45,距离为10的处,并测得渔船正沿方位角105的方向,以9的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所用的时间(精确到0.1,时间精确到1ABC10545北北:()21,9,45(180105)120.xhBABxBCxACB解设舰艇收到信号后在处靠垅渔船,则22222222cos(21)10(9)2109cos120.369100,2()40(min)().3ABACBCACBCACBxxxxxxh由余弦定理，得即化简,得解得负值舍去sin9sin12033,sin,211421.8,4521.866.8.BCACBxBACABxBAC由正弦定理得方位角为66.8,40min.答：舰艇应沿着方位角的方向航行经过就可靠近渔轮P20练习3，421x109x120方程的思想81、分析题意，弄清已知和所求；2、根据题意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；4、正确运用正、余弦定理。小结：求解三角形应用题的一般步骤：9实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明作业：P212，3，4，51018123121233,,.30,50,60,(0.1).PFFFFNFNFFF例作用于同一点的三个力平衡已知与之间的夹角是求的大小与方向精确到3123,,,,.FFFFFF解：应和的合力平衡所以和在同一条直线上并且大小相等方向相反122,,305023050cos12070().OFFFN如图在中由余弦定理得1113,50sin12053sin,7014sin38.2,141.8.FOFFOFFOF再由正弦定理得33170,141.8.FNFF答为和间夹角为P20练习21142,2,.?OAOABABABCBOACB19P例半圆的直径为为直径延长线上的一点.为半圆上的一点,以为一边作等边三角形问.点在什么位置时,四边形面积最大OBCA.AOBOAB解：设在三角形中,由余弦定理,得222222cos12212cos=54cos.SSSAOBABCABOBOAOBOAOACB于是,四边形面积为1321sin(54cos)2455sin3cos32sin()3.434213sin24OAOBAB550,,,,3266AOBOACB当时四边形面积最大.12252320abxx例、锐角三角形中，边、是方程CBABA，求角）（满足、的两根，角03sin2的面积。的长度及的度数，边ABCc解：23sin03sin2）（，）（BABA为锐角三角形ABCoBA120oC60的两根是方程、边02322xxba232abba，Cabbaccos2222abba32）（66122323221sin21CabSABC6c134.,150,3,3,.3.23.233.3xkmkmxABCD某人向东方向走千米后向右转然后朝新方向走了结果他离出发点恰好那么的值是或.1.200,______2.1,,Ex在米高的山顶上,测得山下一塔顶与与塔底俯角分别为30,60则塔高为有一长为千米的斜坡它的坡度为30,现要将它的坡度改为15则该坡比原来伸长____3.在一幢20米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60,塔基的俯角为45,则这座塔吊的高为__________.40035006+2（）3201+3（）C145.,40,31,21,?CAACBCADCDA某观察站在城的南偏西20的方向,由城出发的一条公路走向是南偏东在处测得公路上处有一人距为千米正沿公路向城走去,走了20千米后到达处,此时间的距离为千米问这个人要走多少千米可到达城222202131cos22021143sin77BCDACBD2031东北21sinsin(60)1353sincos2214ACD21sin60sinAD156.,7.5,32.5,16.5..ABCBCCACAABABBCABC中求最大的内角:()BCCAABBCBCCAAB略解2BCBCBC27.516.593BCBC3,5.ABCA同理可求222222335cos2233acbBac16课后作业：第二教材相应内容选做。17sinsin2.sin,.coscosBCExAABCBC已知试判断的形状3.,sin:sin:sin3:2:4cos_________.ExABCABCC在中那么4442224.,2()________ExABCabccabC中则185.,,30,45,.2:1.3:1.3:2.2:3ABABABABCD两人同时拉动有绳子的物体当和所拉着的绳子沿垂线成的角时和手上承受的力的比19例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是。ACB60°75°答：65海里解：应用正弦定理，C=45BC/sin60=10/sin45BC=10sin60/sin4520例2已知△ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比，试证明：△ABC为正三角形。证明：∵a、b、c成等比，∴b2=ac∵A、B、C成等差，∴2B=A+C，又由余弦定理得：60cos2cos222222accaBaccab,22accaac0)(2ca即，∴a=c又∵B=60o，∴△ABC是正三角形。acca22又A+B+C=180o，∴B=60o，A+C=120o21