《高考数学第一轮复习课件》第32讲 等比数列的概念及基本运算

新课标高中一轮总复习理数理数第五单元数列、推理与证明第32讲等比数列的概念及基本运算1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.1.已知数列{an}的前n项和Sn=an-3(a为不等于零的实数),那么数列{an}（）DA.是等比数列B.当a≠1时是等比数列C.从第2项起是等比数列D.从第2项起是等比数列或等差数列由Sn=an-3,可得an=a-3(n=1)(a-1)an-1(n≥2).当a=1时，数列-3,0,0,…0，为从2项起的等差数列；当a≠1时，为从第2项起的等比数列.2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a2011=（）AA.22010B.22011C.32010D.32011令{an}的公比为q，则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6，则a1=1，q=2，所以a2011=a1·q2010=22010.3.若数列{an}成等比数列,则“a2010·a2012=16”是“a2011=4”的（）BA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件由a2010·a2012=16,则a2011=±4，充分性不满足;由a2011=4，则a2010·a2012=a20112=16.4.（2010·江苏溧水模拟）等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，S3=3a3，则公式q=.-或112当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.当q≠1时,=3a1q2,解得q=-或1(舍去).所以q=-或1.1231(1)1aqq125.2009年，某内河可供船只航行的河段长为1000km，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从2010年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的，则到2018年，该内河可行驶的河段长度为km.231000×92()3设an表示第n年船只可行驶河段长度(2009为第一年），则an=an-1，a1=1000，所以an=1000×()n-1，a10=1000×()9.232323等比数列(1)等比数列定义①.(n∈N*),这是证明一个数列是等比数列的依据，也可由an·an+2=an+12来判断.(2)等比数列的通项公式为②.(3)对于G是a、b的等比中项,则G2＝ab,G=③.=q(非零常数)1nnaaan=a1·qn-1±ab(4)特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q≠１两类.当q=1时,Sn=④;当q≠１时,Sn=⑤.na1或1(1)1naqq11nnaaqSq题型一等比数列的基本运算典例精讲典例精讲例1在等比数列{an}中，已知a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.分析分析利用等比数列的性质，将a2an-1转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等比数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解.因为a2an-1=a1an,所以a1an=128.a1an=128a1+an=66,a1=64a1=2an=2an=64将①代入Sn=,得q=,由an=a1·qn-1,得n=6.将②代入Sn=,得q=2,由an=a1·qn-1，得n=6.解方程组解得①或②,11naaqq1211naaqq点评点评(1)对于“知三求二”问题，通常是利用通项公式与前n项公式列方程组求解，但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数列的性质解题，就可化繁为简.(2)当已知a1、q(q≠１)、n时，用公式Sn=求和较为方便；当已知a1、q（q≠１）、an时，则用公式Sn=求和较为方便.11naaqq1(1)1naqq变式变式变式一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列.设所求的等比数列为a,aq,aq2,则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32),解得a=2,q=3或a=,q=-5.故所求的等比数列为2,6,18或,-,.2929109509点评点评这种解法利用等比数列的基本量a1,q,先求公比，后求其他量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁杂.题型二等比数列的判定及证明例2（2010·都昌模拟）已知数列{an}满an+n(n为奇数）an-2n(n为偶数).(1)求a2,a3,a4,a5；(2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列；(3)在(2)的条件下，求数列{an}的前100项中所有偶数项的和.12足:a1=1，an+1=(1)因为a1=1,当n=1∈{奇数},a2=a1+1=;当n=2∈{偶数}，a3=a2-2×2=-;同理，a4=，a5=-.12325274254(2)证明：因为bn=a2n-2，所以=====.又b1=a2-2=-，所以数列{bn}是以b1=-为首项,公比为的等比数列.1nnbb22222nnaa212121222nnana221(4)2122nnanna221122nnaa12121212(3)由(2)得bn=(-)()n-1=-()n=a2n-2,所以a2n=2-()n,所以S=a2+a4+…+a100=(2-)+[2-()2]+…+[2-()50]=2×50-=99+.121212121212125011(1)221125012点评点评本题是以分段形式给出的数列通项，特别要根据n的奇偶选递推式，而不是an+1的下标的奇偶.同时判定等比数列的常用方法有两种：第一种定义法，即证=q(q是非零常数）；另一种是等比中项法，即证an2=an-1·an+1.当已知通项公式或把递推公式看作一整体时，常用定义法.1nnaa题型三等比数列的最值例3等比数列{an}的首项为a1=2010，公比q=-.（1）设bn表示数列{an}的前n项的积，求bn的表达式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列{bn}有最大项？12(1)因为an=2010×(-)n-1,所以bn=a1·a2·…·an=2010n×(-)0+1+2+…+(n-1)=2010n×.(1)求出{an}的通项公式，再由bn=a1·a2·…·an得表达式.(2)先判断bn的符号，再由|bn|的单调性，进一步探求.分析分析12(1)21()2nn12(2)因为=,所以，当n≤10时，=1，所以|b11||b10|…|b1|；当n≥11时，=1,所以|b11||b12|…,又因为b110，b100，b90，b120，所以bn的最大值是b9和b12中的最大者.因为==20103×()30=[2010×()10]31.所以当n=12时,{bn}有最大项为b12=201012×(-)66.1||||nnbb20102n1||||nnbb20102n1||||nnbb20102n129bb126693612010()212010()2121212点评点评等比数列的通项公式类同于指数函数，根据公比q与首项a1的正负、大小有不同的单调性:a10a10q10q1时为单调增数列；a10a10q10q1为单调减数列；当q0时为摆动数列，应分类讨论其项的符号与绝对值.或当当或备选题备选题（2010·安徽师大附中)设数列{bn}的前n项和为Sn，bn=2-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若cn=an·bn(n=1,2,3,…)，Tn为数列{cn}的前n项和，求证：Tn.72(1)由bn=2-2Sn，令n=1，则b1=2-2S1,又S1=b1，所b1=,当n≥2时，由bn-1=2-2Sn-1，可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn，即=.所以{bn}是以b1=为首项，为公比的等比数列，于是bn=2·.2313231313n1nnbb(2)数列{an}为等差数列，公差d=(a7-a5)=3，可得an=3n-1.从而cn=an·bn=2(3n-1)·.所以Tn=2[2·+5·+8·+…+(3n-1)·],所以Tn=2[2·+5·+…+(3n-4)·+(3n-1)·],所以Tn=2[3·+3·+3·+…+3·--(3n-1)·],从而Tn=-·-.1213n1321331313n1321331313n113n231321331313n13113n727213n72113n当出现由等差数列与等比数列的积构成的新数列时,乘公比，错项相消法是首选,此时一定要注意公比是否为1.点评点评方法提炼方法提炼1.方程思想的应用.在等比数列的五个基本量a1,an,q,n,Sn中，“知三求二”，一般是运用通项公式和前n项和公式列方程，通过解方程求解.2.等比数列的判定常用定义法和等比中项法；而证明不是等比数列时，只需举反例（常从前几项入手）.走进高考走进高考学例1(2009·江苏卷)设{an}是公比为q的等比数列，|q|1，令bn=an+1(n=1,2,…).若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中，则6q=.-9因为数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中，又an=bn-1，所以数列{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,且必有正项、负项；又|q|1，所以q-1,因此ak,ak+1,ak+2,ak+3(k∈N*)正负相间，且|ak|，|ak+1|，|ak+2|,|ak+3|单调递增，故等比数列四项只能为-24,36,-54,81.此时，公比为q=-，6q=-9.32学例2(2009·山东卷)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(n∈N*).证明：对任意的n∈N*，不等式··…·成立.111bb221bb1n(1)因为对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b≠1,b,r均为常数)的图象上,所以Sn=bn+r.当n=1时,a1=S1=b+r;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1.因为b0，且b≠１，所以，当n≥２时，数列{an}是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),所以=b,即=b,得r=-1.21aa(1)bbbr(2)由(1)知，当b=2时，an=(b-1)bn-1=2n-1,bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n.则=,所以··…·=××·…·.下面用数学归纳法证明不等式··…·=××·…·成立.当n=1时,左边=,右边=.因为,所以不等式成立.1nnbb212nn111bb221bb1nnbb325476212nn111bb221bb1nnbb325476212nn1n323222假设当n=k时不等式成立,即··…·=××·…·成立.则当n=k+1时,左边=··…··=××·…···===.所以当n=k+1时,不等式也成立.综上，可得不等式恒成立.111bb221bb1kkbb325476212kk1k111bb221bb1kkbb111kkbb3254761k212kk2322kk2322kk2(23)4(1)kk24(1)4(1)14(1)kkk1(1)14(1)kk(1)1k本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来