2013届高考数学考点回归总复习《第十五讲导数的应用》课件

第十五讲导数的应用回归课本1.函数的单调性与导数在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果f′(x)0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增.(2)如果f′(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(3)如果f′(x)=0,那么f(x)在这个区间内为常数.2.函数的极值与导数(1)函数极值的定义若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且f′(a)=0,而且在x=a附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且f′(b)=0,而且在x=b附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则b点叫函数的极大值点,f(b)叫函数的极大值,极大值和极小值统称为极值.(2)求函数极值的方法解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,①如果在x0附近左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,那么f(x0)是极小值.③如果f′(x)在点x0的左､右两侧符号不变,则f(x0)不是函数极值.3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.4.解决优化问题的基本思路考点陪练1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在x=-3时取得极值,则a的值为()A.2B.3C.4D.5解析:由题意得f′(x)=3x2+2ax+3.又f(x)在x=-3时取得极值,所以f′(-3)=30-6a=0,解得a=5.故选D.答案:D2.(2010·重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值是()A.0B.1C.2D.3解析:f′(x)=3x2-3,当x∈[-2,-1]或[1,2]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f′(x)0,f(x)单调递减.故极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,∴f(x)在[-2,2]上的最大值为2.答案:C3.f(x)是定义在(-∞,+∞)上的可导的奇函数,且满足xf′(x)0,f(1)=0,则不等式f(x)0的解为()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,+∞)解析:由xf′(x)0知,当x0时,f′(x)0,即函数在(0,+∞)内单调递减,而f(1)=0,故当x0时,由f(x)0可得x1,又因为函数为奇函数,故当x0时,不等式f(x)0的解集为0x-1,故选B.答案:B324.(2010)fxxax5x61,3,a() ,)B.,3C.(,3],)D13.[5[5.[5,5]A安徽联考设函数在区间上是单调函数则实数的取值范围是2225:fxx2ax5,fx1,3.1,fxx2ax50,ax1,3,,t[515,2215,,5]2[5,3]15|55,255;1,,axxxxxtxxt解析因为由题意得在区间上符号不变若在该区间上为增函数则有≥故≥而令显然在上单调递增在上单调递减故最大值为所以≥212515,221157|(15)3,|3 2,fxx2ax50,a1a3.12a(,3,2233[53],).C.xxxxxttx若在该区间上为减函数则有故≤而由知≤由可知的取值范围为故选答案:C5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的有________.①函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减;②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减;③当x=-3时,函数f(x)有极大值;④当x=7时,f(x)有极小值.解析:由图象可得,在区间(-3,1)内f(x)的导函数值大于零,所以f(x)单调递增;在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零,所以f(x)单调递减;在x=-3左右的导函数符号不变,所以x=-3不是函数的极大值点;在x=7左右的导函数符号由负到正,所以函数f(x)在x=7处有极小值.故填②④.答案:②④类型一函数的单调性解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)0(或f′(x)0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数;当f′(x)0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数.【典例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.[分析]第(1)问由f(x)在R上是增函数知f′(x)≥0在R上恒成立,进而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问.[解](1)由已知f′(x)=3x2-a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,∴a≤0.(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1x1,∴3x23,∴只需a≥3.当a≥3时,f′(x)=3x2-a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)0,即f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.[反思感悟]容易把f′(x)0(f′(x)0)看成是f(x)为增函数(减函数)的充要条件,从而求错参数的范围.类型二函数的极值解题准备:运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤:(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根;(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.【典例2】已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.[分析]第(1)问应用f′(x)0⇒f(x)单调递增,f′(x)0⇒f(x)单调递减.第(2)问转化为f(x)极小值mf(x)极大值.22 []1fx3x3a3xa,a0,xR,fx0,a0,fx,.a0,fx0,;xfx0,a0,fx(,,);.),(()fx,.xaaaxaaaaa解当时对有当时的单调增区间为当时由解得或由解得当时的单调增区间为的单调减区间为(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0.∴a=1.∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3.由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(-3,1).[反思感悟]此题虽是研究两个函数图象的交点个数问题,但实质仍然是研究函数的单调性和极值问题,导数法求单调区间的主要步骤是:求导;解不等式.求极值的一般方法是:求导;求根;讨论根左右导数的符号,确定极值并求值.类型三函数的最值解题准备:1.根据最值的定义,求在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导的函数的最值时,可将过程简化,即不用判断使f′(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)值.2.定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点.【典例3】(2010·重庆)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.232323322 []1fx3ax2xb.gxfxfxax3a1xb2xb.gx,gxgx,x,ax3a1xb2xbax3a1xb21,xb,3a10,b0,b0,fxfx31.3axx解由题意得因此因为函数是奇函数所以即对任意实数有从而解得因此的解析式为3212 21gxx2x,gxx2,gx0,xxx,gx0,gx(,132,2,222],);,gx,[222[2,2]0,gx.xx由知所以令解得则当或时从而在区间上是减函数当时从而在上是增函数5422,2,(2),,gx1,2x1,,g1gx1334(2).3424(2),.33,2g2ggg由前面讨论知在区间上的最大值与最小值只能在时取得而因此在区间上的最大值为最小值为类型四生活中的优化问题解题准备:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.【典例4】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所以桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?x[分析]对(1),先设辅助未知数,再确定函数关系;对(2),先利用导数求出最优解.1,(2)2562561(2)2256 []1n,n1xm,nyfx256nn.1mxxxmmxxmmxmxxx解设需新建个桥墩则即所以322221,fxfx0,x64.0x64,fx0,fx256110,64;64x640,fx0,fx64,640.fxx64,n(512).2223512,26401199.4y.6mmmxxxxxmx由知令得所以当时在区间内为减函数当时在区间内为增函数所以在处取得最小值此时故需新建个桥墩才能使最小[反思感悟]本题将导数应用于工程的最优化问题的解决之中,可以说是一个很好的设计,不仅考查了考生对函数､导数等相关知识的掌握程度,还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力.该题常见的错误有:①不能正确理解各个量之间的正确