2013届高考文科数学一轮复习考案2.9 函数的综合应用资料

§2.9函数的综合应用真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选考点考纲解读1函数模拟以实际问题的函数图象或数据考查几种常见的不同的函数模型;以解决以实际问题的最值为背景,考查函数的定义域,值域等问题.2实际问题能够运用函数的性质,解决某些简单的实际问题.3函数与其他知识点考查函数的基本性质与其他知识点结合. 函数思想是高中数学的主线,在高考中占有很大的比重,题型包括选择题、填空题和解答题.形式主要以函数本身的概念、性质或和其他知识点(比如方程、不等式、数列、导数、平面解析几何等)交叉.函数的综合应用为函数的重点知识,它包含了函数的各类问题,如函数的图象、性质以及几种常见的模型.在大题中以实际问题为背景,考查建立函数解析式、确定定义域、求最值等问题,属中档题;在小题中以中低档题为主.高考中主要侧重于利用函数解决实际问题,解决问题时注重个人的分析解决问题的能力,尤其是读懂题意的能力.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 1.掌握几类基本初等函数的图象与性质,如一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等.2.几种常见的函数模型:(1)一次函数模型f(x)=kx+b(k≠0),(2)反比例函数模型f(x)= (k≠0),(3)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),(4)指数函数模型f(x)=b·ax+c(a0且a≠1),kx考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(5)对数函数模型f(x)=mlogax+b(m≠0,a0且a≠1),(6)幂函数模型f(x)=axn+b(a≠0,n≠1).3.函数实际应用(应用题):要注意审题,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学模型.建立数学模型一般过程:①设自变量x,函数的因变量为y,必要时引出中间变量,并用x,y及中间变量表示各量之间的关系,②消掉中间变量,从而建立函数关系式,实现问题的数学化,即建立函数模型.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.(2011年广东省兴宁市宁中中学)根据下表:则可判断函数f(x)最有可能的函数模型是 ()(A)指数函数.(B)一次函数.(C)对数函数.(D)幂函数.【解析】描点画出函数的五个点,可以看出五个点在一条直线上,故函数模型为一次函数模型.【答案】Bx45678f(x)1518212427考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.(2011年福建厦门月考)将进货单价为40元的商品按50元一个售出时,能卖出500个,若此商品每个涨价1元,其销售量减少10个,为了赚到最大利润,售价应定为 ()(A)70元.(B)60元.(C)50元.(D)55元.【解析】设售价为x(50≤x≤100),每个的利润为x-40元,能卖出的个数为500-10(x-50)=1000-10x,∴利润为f(x)=(1000-10x)(x-40)=-10(x-70)2+9000≤9000(当且仅当x=70时取等号).∴售价定为70元时,赚到最大利润9000元.【答案】A考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.(2011年吉林省吉林一中)某商店经销一种洗衣粉,年销售总量为6000包,每包进价为2.8元、销售价为3.4元,全年分若干次进货、每次进货均为x包,已知每次进货运输费为62.5元,全年保管费为1.5x元,为使利润最大,则x=.【解析】设获得的利润为y元,则y=(3.4-2.8)×6000- ×62.5-1.5x=-1.5(x+ )+3600,可证明函数在(0,500)上递增,在[500,+∞)上递减,因此当x=500时,函数取得最大值.【答案】5006000x400625x考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型1常见的简单函数模型与函数的图象 例1(1)(2011年吉林油田高中)由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低 ,问现在价格为8100元的计算机经过15年后,价格应降为.13考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 (2)某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天他骑自行车匀速前往旅游,他先前进了akm,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了bkm(ba),当他记起诗句“不到长城非好汉”,便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s与时间t的函数关系的图象大致为 ()考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(A)甲的产值小于乙的产值.(B)甲的产值等于乙的产值.(C)甲的产值大于乙的产值.(D)不能确定.(3)(2011年湖北百校联考)已知甲、乙两个车间的月产值在2011年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2011年8月份发现两个车间的月产值又相同.比较甲、乙两个车间2011年4月份的月产值大小,则有 ()考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)通过实际问题,抽象出函数的图象,分析出函数图象的变化规律.(3)利用甲乙两个车间月产值的变化规律,分析出函数的解析式,再利用图象解决问题.【解析】(1)现在的价格为8100元,则经过15年后价格为8100×(1- )3=2400(元).13【分析】(1)由题意可知15年后,经过了3次价格的降低.(2)他骑自行车匀速前往旅游,离起点的距离s与时间t的函数关系的图象是直线段且越来越大;休息的一段时间,离起点的距离s的距离不变;沿原路返回骑了bkm(ba),离起点的距离s的距离越来越小;调转车头继续前进,离起点的距离s的距离越来越大.故选C.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(3)设甲乙两车间的月产值分别为f(x)与g(x),由题意可知f(1)=g(1),f(8)=g(8),其中f(8)f(1).画出函数的图象可知f(4)g(4).故选C.【答案】(1)2400元(2)C(3)C【点评】(1)指数函数模型的简单应用;(2)函数图象与实际问题的有机结合,并结合“教书育人”教育学生;(3)简单函数模型的建立,进而考查结合函数图象比较大小,即数形结合思想的应用.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练1(1)在一定范围内,某种产品的购买量y套与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000套,每套为800元;购买2000套,每套为700元,那么客户购买400套,每套应该是元.(2)某工厂2006年产值为a,计划每年比上一年产值增长10%,则2011年这个工厂的产值为 ()(A)1.14a.(B)1.15a.(C)10(1.15-1)a.(D)11(1.15-1)a.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(3)已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是 ()(A)x=60t.(B)x=60t+50t.(C)x 60(02.5),15050(3.5).ttx(D)x= 60(02.5),150(2.53.5),15050(3.5)(3.56.5).ttttt考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【解析】(1)设y=kx+b,∴ ∴ ∴y=-10x+9000,400=-10x+9000,∴x=860.1000800,2000700,kbkb10,9000,kb(2)每年是上一年的(1+10%)=1.1倍,故2011年这个工厂的产值为1.15a.选B.(3)由题知,以60千米/小时的速度从A地到达B地需要2.5小时,离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式为x=60t;当2.5t3.5时,x=150;当3.5t6.5时,x=150-50(t-3.5).故选D.【答案】(1)860(2)B(3)D考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型2利用均值不等式(或定义法分析函数的单调性)解决最值问题 例2某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= )【分析】根据所给的等量关系找出函数关系式再求最值.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选f(x)=(560+48x)+ =560+48x+ (x≥10,x∈N),可证明函数在[10,15)上递减,在[15,+∞)上递增,因此当x=15时,函数取得最小值.所以为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.【点评】解决函数的应用题的关键是读懂题意,再分析各个量之间的关系,从而转化为数学模型.2160100002000x10800x【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,则考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练2要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目,这两栏的面积之和为18000cm2.四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?【解析】设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则ab=9000.①广告的高为a+20,宽为2b+25,其中a0,b0.广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2 =18500+2 =24500.当且仅当25a=40b时等号成立,此时b= a,代入①式得a=120,从而b=75.2540ab1000ab58即当a=120,b=75时,S取得最小值24500.故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例3某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元).题型3与二次函数相结合的函数综合应用考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式;(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能是企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元).【分析】根据题目中函数模型求出函数的解析式,再设其中一个产品所用的资金为x万元,利润y就可以表示为x的函数,再用函数的知识求最值即可.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选g(x)万元,由题设f(x)=k1x,g(x)=k2 ,由图知f(1)= ,∴k1= ,又g(4)= ,∴k2= ,从而f(x)= x(x≥0),g(x)=  (x≥0).x141452541454x【解析】(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元.设企业的利润为y万元,则y=f(x)+g(10-x)= +  (0≤x≤10),令 =t,则y= + t=- (t- )