2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：2.4函数的单调性(第2课时)

第二章函数2.4函数的单调性第二课时题型4利用单调性求参数的取值范围1.设a∈R，为常数，已知函数f(x)=lg(ax-1)-lg(x-1)在区间［10，+∞)上单调递增，求a的取值范围.解法1：由已知，当x1＞x2≥10时，有f(x1)＞f(x2)恒成立，即lg(ax1-1)-lg(x1-1)＞lg(ax2-1)-lg(x2-1)即所以恒成立.因为，所以＜a＜1，所以a的取值范围是(，1).01)1)(1()1)(1(21221-ax-x-ax-x-ax,10))(1(221xa-xxa-2101xaa-10112x101101解法2：因为f(x)=lg(a+)在［10，+∞)上是增函数，所以y=a+在［10，+∞)上是增函数.又y=在［10，+∞)上是减函数，所以a-1＜0，即a＜1.因为当x∈［10，+∞)时f(x)有意义，所以当x≥10时，ax-1＞0恒成立，即a＞恒成立，所以a＞()max=，故a∈(，1).11x-a-11x-a-11x-x1x1101101点评：由函数的单调性逆求参数的取值范围，即根据单调性质得出相应的不等式(组)，由此不等式(组)恒成立，得出相应参数的取值范围，注意函数定义域的应用.(1)若函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间［1，2］上是单调函数，求a的取值范围;(2)若函数f(x)=ax+在区间(-2,+∞)上是增函数，求a的取值范围.解:(1)f(x)=x2+(2a+1)x+1=(x+)2-,故对称轴为，要使f(x)在区间［1,2］上是单调函数，需-≤1或-≥2,解得a≥-或a≤-.所以a的取值范围为(-∞,-］∪［-,+∞).拓展练习拓展练习21x212a14)12(2a212a212a212a23232525(2)f(x)=ax+=a+1-,若要使f(x)在(-2,+∞)上是增函数，则需1-2a0,即a，所以a的取值范围为(,+∞).22122121xa-aaxxaxx22xa21212已知奇函数y=f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，若f(m-1)+f(2m-1)＞0，求实数m的取值范围.解：因为f(m-1)＞-f(2m-1),且f(x)为奇函数，所以f(m-1)＞f(1-2m).又因为f(x)在(-2，2)上递减，所以-2＜m-1＜1-2m＜2，即-＜m＜.所以m的取值范围为(-，).题型5利用函数单调性求解函数不等式21322132点评：与函数有关的不等式的解法，关键是根据单调性质剥掉外层符号“f”，得出相应的具体不等式，特别注意函数定义域这一个隐含条件不能忽略.设函数f(x)=，解不等式f(x2+x-1)＜1.解：显然，f(x)的定义域为(0，+∞).又f(x)=，因为y=和在(0,+∞)上都是增函数，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数.又f(1)=1，所以不等式化为f(x2+x-1)＜f(1)0＜x2+x-1＜1，即由此解得x∈(-2，-)∪(，1).拓展练习xx-12x-x12x2x-y1.x-xx-x0201222512153.已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(1)＞0，且对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y).若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R都成立，求实数k的取值范围.解：取x=y=0，则f(0)=2f(0)f(0)=0，所以不等式可化为f(k·3x+3x-9x-2)＜f(0).因为f(x)是单调函数，f(1)＞0=f(0)，所以f(x)是R上的单调递增函数，从而不等式等价于k·3x+3x-9x-2＜0，题型6抽象函数的单调性问题即k＜恒成立.所以k＜()min.因为，当且仅当x=log3时取等号，所以(3x+-1)min=2-1，故k的取值范围是(-∞，2-1).1323-xx1323-xx223232323xxxx2x3222点评：解决抽象函数问题，其策略是利用赋值法或配凑法，如本题中令x=y=0，得到f(0)=0，从而将不等式化为f(k·3x)+f(3x-9x-2)f(0),再利用函数的性质剥掉外层符号“f”，即可求解.有时还可以找一具体函数来理解，如本题中的具体函数是f(x)=kx.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且对任意x，y＞0，有f(x·y)=f(x)+f(y)，若f(2)=1，解不等式f(x)+f(x-3)≤2.解：取x=y=2，则f(4)=2f(2)=2，所以不等式化为f［x(x-3)］≤f(4).因为f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，所以即解得3＜x≤4.所以原不等式的解集是(3，4］.拓展练习拓展练习,0034)3(xx-x-x,xx--x304321.判定抽象函数的单调性，一般用定义法，但要注意对抽象函数的性质条件作适当变通，如当函数f(x)为奇函数时，f(x)+f(y)=f(x+y)f(x)-f(y)=f(x-y).2.求单调函数中参数的取值范围，是单调性概念的逆向运用，一般通过分离参数，转化为不等式恒成立问题来解决.需要注意的是，所有的不等式变形都必须在题设单调区间或函数定义域内进行.3.利用函数单调性比较大小、证不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强单调性的应用意识，提高解题技能.