2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：3.2等差数列(第2课时)

第三章数列3.2等差数列第二课时题型3等差数列中的证明问题1.设{an}是公差为d的等差数列.(1)求证：以bn=(n∈N*)为通项的数列{bn}是等差数列；12naaan(2)若a1d≠0，问数列{an}中的任一项an是否一定在(1)中数列{bn}中？如果是，设此项为bm，探求此时n与m的关系式；如果不是，请说明理由.解：(1)证明：因为等差数列{an}的公差是d(常数)，所以所以{bn}是等差数列.1212-1-111-111-1-1---1()(-1)()-22(-1)11-(-)()2.2222nnnnnnnnnnaaaaaabbnnnaanaannaaaaaadn常数，其中(2)由(1)知，bn=b1+(n-1)，且b1=a1，即bn=a1+(n-1)，an=a1+d(n-1).假设存在符合题意的项，则由an=bm，可得a1+d(n-1)=a1+(m-1)，所以(m-1)=n-1，即m=2n-1.由m，n都是正整数可得此式成立.故数列{an}中的任一项an一定在数列{bn}中.2d2d2d12点评：一个数列为等差数列的充要条件可以是：①an+1-an=d；②an=an+b；③Sn=an2+bn(Sn是前n项和)；④an+2+an=2an+1.判断一项a是否为某数列{an}的项，就是方程an=a是否有对应的正整数解.已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的r、t∈N*，都有判断{an}是否为等差数列，并证明你的结论.解：{an}是等差数列，证明如下：因为a1=S1≠0，令t=1，r=n，由得即Sn=a1n2.所以，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a1(2n-1)，且n=1时此式也成立.所以an+1-an=2a1(n∈N*)，即{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列.拓展练习拓展练习2().rtSrSt2()rtSrSt，21nSnS，题型4等差数列性质的应用拓展练习3.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数为f′(x)=6x-2.数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n∈N)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m.解：(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),则f′(x)=2ax+b.题型5等差数列与函数交汇13,nnnbaa20m由f′(x)=6x-2,得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.又因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上，所以Sn=3n2-2n.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;当n=1时，a1=S1=3×12-2=6×1-5.所以an=6n-5(n∈N*).(2)由(1)知故因此，要使都成立,必须且仅须满足即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.133(6-5)[6(1)-5]111(-),26-561nnnbaannnn1111111[(1-)(-)(-)]277136-56111(1-).261nniiTbnnn11(1-)(*)26120mnNn1,220m点评：数列是特殊的函数，有关数列中的一些问题，可以利用函数的方法来解决，如求数列中的最值项，先把定义域看为正整数集，然后利用求函数最值的方法进行求解.已知等差数列{an}中,公差d＞0,Sn为其前n项和,且满足a2·a3=45，a1+a4=14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)通过构成一个新的数列{bn}，使{bn}也是等差数列，求非零常数c；(3)求f(n)=的最大值.解：(1)由于a1+a4=a2+a3=14，故a2,a3是方程x2-14x+45=0的两根,且a2＜a3，拓展练习拓展练习nnSbnc1(*)(25)nnbnNnb所以a2=5，a3=9，故d=4，a1=1，所以an=4n-3(n∈N*).(2)由(1)可知，Sn=n(2n-1)，因为{bn}也是等差数列，所以2b2=b1+b3，所以化简得2c2+c=0，解得c=-或c=0(舍去).所以c=-.1231615,,.123bbbccc12115,213ccc1212(3)由(2)可知，所以当且仅当n=5时取等号.故当n=5时，f(n)的最大值为(2-1)2,1-2nnSnnbnncn122()(25)(25)2(1)11,2526253626nnbnfnnbnnnnnnn1.36设Sn和Tn分别为两个等差数列{an}，{bn}的前n项和，若对任意n∈N，都有SnTn=7n+14n+27，则数列{an}的第11项与数列{bn}的第11项的比是()A.4∶3B.3∶2C.7∶4D.78∶71解：因为所以故选A.参考题参考题2-1,2-1nnSan2111212111211471421,8427321SaSTbT已知三个或四个数成等差数列的一类问题，要善于设元，目的在于减少运算量.如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设a-d，a，a+d;四个数成等差数列时，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d.