第三讲 期望效用理论

第三讲期望效用理论本讲重点：VNM期望效用函数一、基本概念1.关于风险与不确定性奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润》中关于确定性、风险和不确定性的解释：确定性：是指自然状态如何出现已知，并且行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件发生的可能性。风险：是指那些涉及以概率或可能性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。不确定性：是指发生结果尚为不知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。不确定性选择的事例例1彩票(lottery)发行彩票是一种常见的低成本筹资手段。购买彩票有可能获得奖品，甚至可能获得大奖。彩票种类很多，面对众多彩票，消费者究竟依据怎样的行为准则进行选择？这是我们关心的问题。例2赌博(gamble)赌博是一种典型的靠随机因素决定收入的现象，用它可区别一个人对待风险的态度。我们关心的问题是，当消费者面对一种赌博的时候，他是依据什么准则来决定是参加还是拒绝赌博的？例3择业(job-choice)职业各种各样，有些职业具有稳定的收入，而有些职业的收入不稳定，与绩效挂钩。因此，择业也是一种不确定选择问题。2.预期值（数学期望值）假如抽奖提供几个奖项（有一些可能是0），赢得这些奖项的概率是，如果假定每个参与者只能得到一个奖，那么为了给这种抽奖的平均报偿提供一种测量方法，我们将其定义为预期值：抽奖的预期值是奖的加权之和，此权是各自的概率。nxxx,...,,211xn,...,,21nii11nii11niiinnxxxxxE12211...例如，发500张彩票，一等奖：200元概率1/500二等奖：50元概率1/100三等奖：10元概率1/20四等奖：0元概率469/5003.公平游戏（博彩）期望值为0的游戏如果期望值不为0,那么就有一玩家为此游戏支付成本.二、不确定性下的理性决策原则A.数学期望最大化原则数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大化准则在不确定情形下的推广。问题：数学期望最大化准则是否是一最优的不确定性下的行为决策准则？圣·彼得堡悖论（St·petersburgparadox）1713年，数学家尼古拉·贝努利向他的一位法国朋友蒙莫尔提出，到1738年其堂弟丹尼尔·贝努利在《圣彼得堡科学院评论》上发表论文解决了这一问题，从此，这一问题就开始以“圣·彼得堡悖论”而著称。圣·彼得堡悖论是关于一个猜硬币正反面的赌博问题。假设第一次猜对，赌徒可得2元；第一次猜错，第二次猜对，赌徒可得4元，…，一般地，如果前n-1次都猜错，第n次猜对，赌徒可得元，任何一次猜对，游戏即结束。现在的问题是：要使赌徒有权参加这样的赌博，他应该先交多少钱才合理？n2B.期望效用原则丹尼尔·贝努利在1738年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的。如果假设收入的边际效用随收入的增加而递减，那么这个游戏也许能够达到某个有限的预期效用值，也许会有某个玩家愿意为玩这个游戏而支付这一效用值。贝努利假设，每个奖金的效用为：则其预期效用=39.121)2(ln)(11iiiiiixUiixxUlnC.后期望效用理论：由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用的新的解释。三、VNM期望效用函数期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。如果某个随机变量X以概率取值，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到时的效用为，那么，该随机变量给他的效用便是：其中，E表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（VNM函数）。ipix)(...)()(2211nnxupxupxupExU)(ixuixu(x)u(x2)u(p1·x1+p2·x2)p1·u(x1)+p2·u(x2)u(x1)ABu=u(x)x1p1·x1+p2·x2x2x期望效用与期望值的效用四、风险态度1.问题的提出现实观察：经济行为主体对待风险的态度是存在差异的。热衷冒险的人会在等待不确定性结果中获得刺激而兴奋不已；大多数的行为主体则认为风险是一种折磨，尽可能地回避风险；而另一些人对风险可能采取一种无所谓的态度。如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险的态度？通常可以从两个方面来刻画：（1）观察经济行为主体面对公平游戏时的行为选择，即是愿意确定性地接受一个公平游戏的期望价值还是宁愿接受这个游戏本身及其不确定性的结果。（2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴含在这个游戏中的风险。或者说，让经济行为主体参与这个游戏行为需要多少风险溢价补偿。2.风险态度的描述公平游戏不改变个体原来的期望收益，但它提供了个体增加或减少原来收入的机会。风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平游戏，这说明该个体在确定性收益和游戏之间更偏好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都愿意接受公平游戏，则称该主体为风险偏好者。风险中性者：如果一个经济主体对公平游戏持无所谓的态度，则称该主体为风险中性者。定义：是经济主体的VNM效用函数，W为个体的初始禀赋，如果对于任何满足的随机变量，有则称个体是（严格）风险厌恶的（riskaversion）；如果上述不等号方向相反，则称个体是风险偏好的（riskloving）；如果两边相等，则称个体是风险中性的（neutral）。()0E()0Var()[()]uWEuWu对于一个具有效用函数为和初始禀赋为W的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为。如果他愿意参加博彩，则他有p的概率获得，1-p的概率获得，（）。因此，他的期望效用为根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风险厌恶的经济主体而言，我们有：1Wx2Wx12()(1)()puWxpuWx12()()(1)()uWpuWxpuWxuwu12()(1)()WpWxpWx由于所以，上述不等式可改写为：即：这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对于风险厌恶的经济主体而言，确定性收益（数学期望值）的效用大于效用的期望值。基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用函数为凹函数。12()(1)()WpWxpWx1212(()(1)())()(1)()upWxpWxpuWxpuWx1212((1))()(1)()upxpxpuxpuxU(x)xABC风险厌恶者的效用函数同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性者的效用函数的特征。对于风险偏好者而言，我们有：且其效用函数为凸函数。1212((1))()(1)()upxpxpuxpuxx风险偏好者的效用函数BACU(x)对于风险中性者而言，我们有其效用函数为线性效用函数。1212((1))()(1)()upxpxpuxpuxxU(x)3.效用函数的凸凹性的局部性质经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局部性质。即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏好者。弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现象。他们认为，效用函数是几个不同的部分组成。在人们财富较少时，部分投资者风险厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段，投资者则显示出风险偏好。五、风险厌恶的度量1.确定性等值与风险溢价确定性等值（certaintyequivalence）是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意愿。即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学期望值（财富价值）。风险溢价（riskpremium）是指风险厌恶者为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的风险补偿。即如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃的收益为ρ，则我们有：这里，ε为公平博彩的随机收益（即报酬的微小增量），W为初始禀赋，ρ被称之为马科维兹风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越高。而W-ρ为确定性等价收益。(())()EuWuWρ即为风险溢价，或称风险贴水（升水）。u(x)u(x2)p1·u(x1)+p2·u(x2)u(x1)u=u(x)x1p1·x1+p2·x2x2xρ例：有一种彩票，获得900元的概率是20%，获得100元的概率是80%。如某人的效用函数形式为U=，问该消费者愿出多少钱去买这种彩票？风险贴水ρ的值是多少？解：∵U（CE）=0.2U(900)+0.8U(100)=14∴=14CE=196故他对彩票的最高出价是196元，风险贴水ρ：0.2×900+0.8×100-ρ=196∴ρ=64wWCE2.风险厌恶系数对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为0且预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是二次连续可微的，我们可对等式的两边在W做泰勒级数展开:这里，Re为高阶余项，由于是风险很小的公平博彩，所以，Re可省略。由此，我们可以得到21[()'()()Re]()'()Re2EuWuWuWuWuW(())()EuWuW可得：上式的右边由两个部分构成：是体现个体偏好的因素，而Var(ε)则是公平博彩随机收益的方差，体现不确定性风险。1()()()()'()2uWuWVaruWuW1()()2'()uWVaruW()/'()uWuWI3I2I1ONBHA将随具体博彩的ε因素除去，留下仅反映个体主观因素的部分，我们可以得到一个比风险溢价更为一般的风险厌恶测度指标：()()'()AuWRWuW经济学家普拉特（Pratt,1964）和阿罗（Arrow,1970）分别证明了在一定的假设条件下，反映经济主体的效用函数特征的可以用来度量经济主体的风险厌恶程度。因此，我们将称为经济主体的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数（Arrow-Prattabsoluteaversion）。在金融理论中，我们时常需要相对测度量，如证券投资者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收益，而是以多大概率获得百分之几的收益。相应地，我们可以推导出个体的相对风险测度。事实上，要得到相对意义上的风险溢价，只需要将绝对风险厌恶系数的两边除以个体的初始禀赋即可：()'()uWuW()ARWVar（ε/W）是公平博彩相对收益的方差，另一部分称为个体的阿罗-普拉特相对风险厌恶系数（Arrow-prattrelativeaversion）。同样地，我们定义阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数的倒数为个体的风险容忍系数（risktolerance），即T（W）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则反。1()()2'()uWWVarWuWW()()'()RuWWRWuW1'()()()()AuW