2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第七单元第一节 数列的概念与简单表示法

第一节数列的概念与简单表示法基础梳理1.数列的概念（1）按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项.（2）数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…，数列简记为{an}，其中a1称为数列的第1项(或称为首项），a2称为第2项，…，an称为第n项.2.数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列——项数有限的数列；无穷数列——项数无限的数列.3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成以N*（或它的有限子集{1,2,…,k}）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.6.数列的简单表示法:列举法、列表法、解析法、图象法.典例分析题型一数列的概念及通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,....;(2)(3)(4)(5)1925,2,,8,,...;222210172637,1,,,,,...;37911131,0,1,0,...111,0,,0,,0,...355.递推公式如果已知数列{an}的首项（或前n项)，且的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.任一项与它的前一项（或前几项）间1nana分析分析各项的特点，找出规律，归纳出结论，然后再进行验算，从而得出答案.解(1)中3可看做,5可看做,9可看做,17可看做,33可看做,…,所以.(2)每一项的分母都是2，分子是相应项数的平方，所以.(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式,观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可知，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是,,，,按照这样的规律,第1、2两项可改写为,,所以12122132142152122nna1(1)n2312412512612112122121211121nnnan(4)数列中的1可看成，而0可看成，即.(5)数列中偶数项均为0,奇数项的符号正负相隔，则想到用正弦、余弦函数来调整，若数列为1,0,-1,0,1,0,…,则可用来表示,所以数列1,0,,0,,0,…的通项公式为112112112nnasin2nna13152sinnnan学后反思由数列的前几项写出一个通项公式尽量避免盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现其规律，首先要观察哪些因素与序号无关而保持不变，哪些因素随序号的变化而变化，其次要分析变化的因素与序号n的联系,再次是写出通项后进行验证或调整.举一反三1.数列的通项公式an是.,924,715,-581,-解析:将数列中的各项变为故其通项公式,,964,753,-542,331-.12n2)n(n(-1)ann答案:nn(n2)(-1)2n1题型二递推公式【例2】根据下列条件，写出数列的通项公式..aa1,2(2)an;aa2,a)(11-nn1-n1n1n1分析(1)将递推关系写成n-1个等式累加.（2）将递推关系写成n-1个等式累乘，或逐项迭代也可.解（1）当n=1,2,3,…,n-1时，可得n-1个等式.an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,…,a2-a1=1,将其等式两边分别相加，得an-a1=1+2+3+…+(n-1).∴21)n-(nn21)n-(n1)-(n21122-n1-n112233-n2-n2-n1-nnnn)21(a,)21()21(a)21()21(··)21()21(aaaaaaaaa1-aaa1(2)方法一：.21)-n(n221)-n1)(1-(naa1n方法二：由,得)21(a)21()21()21(··)21()21(a)21()21(a)21(a21)n-(nn21)-n(n122)-(n1)-(n112-n1-n2-n2-n1-n1-n1-nna1-nn1-naa2,a)21(a1-n1-nn学后反思（1）对于形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法求通项.（2）对于形如的递推公式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累乘的方法求通项.举一反三2.根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式.（1）a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2);2).(nan1-na1,(2)a1-nn1解析：(1)∵∴…以上n-1个等式两边分别相加得21-33331333aan1-n21-n211n113(2)nnnaan2123nnnaa3233nnnaa1213aa(2),a1-n2-na2),(nan1-na2-n1-n1-nn.a21a12以上n-1个等式两边分别相乘得n1nan1-n3221aa11n题型三利用数列的前n项和公式求通项【例3】已知下面数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式.（1）Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.分析当n≥2时，由,求出.再验证当n=1时,是否适合上式.1nnnaSSna11aS解(1)a1=S1=2-3=-1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,由于a1也适合此等式，∴an=4n-5.(2)a1=S1=3+b,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.当b=-1时，a1适合此等式；当b≠-1时，a1不适合此等式.∴当b=-1时，an=2·3n-1;当b≠-1时，2.n,321,nb,3a1-nn学后反思已知{an}的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：①应重视分类讨论的应用，分n=1和n≥2两种情况讨论,特别注意用an=Sn-Sn-1时需n≥2;②由Sn-Sn-1=an推得的an,若当n=1时，a1也适合“an式”,则需统一“合写”;③由Sn-Sn-1=an推得的an,若当n=1时，a1不适合“an式”,则数列的通项公式应分段表示（“分写”）,即2.n,S-S1,n,Sa1-nn1n3.已知数列{}的前n项和，求数列{}的通项公式.（1）(2).nanSna11nnSn223nSnn解析:(1)当n=1时，;当n≥2时，又∵当n=1时，∴(2)当n=1时，;当n≥2时，∴111aS111(1)(1)(1)(1)(21)(1)2111nnnnnnnaSSnnn111(1)2111a1(1)(21)nnan116aS221(23)[2(1)(1)3]41nnnaSSnnnnn6141,2nnann题型四数列与函数【例4】（14分)已知数列{}的通项公式为(1)0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.na221nnan分析（1）令an=0.98,看能否求出正整数n；（2）判断的正负.1nnaa解(1)令=0.98，解得n=7,故0.98是此数列的项.……………………………………………………………6′（2）∵…………………………………………………………..10′∴,故此数列是递增数列………………….14′221nn22122(1)(1)11nnnnaann22222101[(1)1]1nnnnn1nnaa学后反思（1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.（2）判断数列的单调性就是比较与的大小.na1nana举一反三4.已知数列{}的通项公式为,试问数列{}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由.*9110nnnnanNna解析：∵∴当n≤7时，,即当n=8时，,即当n≥9时，,即1199()(2)()(1)1010nnnnaann1191098()[(2)(1)]()109109nnnnn10nnaa1nnaa10nnaa1nnaa10nnaa1nnaa综上可知，存在最大项，最大项为8890.99aa易错警示【例】已知数列{an}中-kn(n∈N*)，且{}单调递增，则实数k的取值范围是.2nanna错解因为an是关于n的二次函数，其定义域为正整数集，故若{}递增，则必有≤1，故k≤2.错解分析函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即若数列所对应的函数单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数.故对于数列单调性的判断一般要通过比较与的大小来判断，若，则数列为递增数列;若,则数列为递减数列.na2k1nana1nnaa1nnaa正解由于,由于{}单调递增，故应有,即2n+1-k＞0恒成立，得k＜2n+1,故只需k＜3即可.221(1)(1)21nnaanknnknnkna10nnaa考点演练10.数列{}中，=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有，求的值.na1a2123....naaaan35aa解析:由∴,∴=，同理=因此=2123....naaaan124aa1239aaa3a35aa945a2516611611.已知数列{an}的通项公式为=n(n+2),问：(1)80,90是不是该数列的项？如果是，是第几项？（2）从第几项开始，该数列的项大于10000?na解析:(1)令n(n+2)=80,解得=8,=-10(舍去)，∴80是数列的第8项;令n(n+2)=90,而此方程无正整数解,∴90不是该数列的项.（2）∵=99×101＜10000,而=100×102＞10000,∴从第100项开始，该数列的项大于10000.1n2n99a100a12.(2008·全国Ⅱ)设数列{}的前n项和为,已知,n∈N*.(1)设,求数列{}的通项公式；(2)若,n∈N*，求a的取值范围.nanS1aa13nnnaS3nnnbSnb1nnaa解析:(1)依题意，,即由此得因此，所求通项公式为,n∈N*.①(2)由①知,n∈N*,于是，当n≥2时，则113nnnnnSSaS123nnnSS11323nnnnSS1332nnnnbSa1332nnnSa1121122233233223323212()32nnnnnnnnnnnaSSaaaa212213433221232nnnnnnaaaa当n≥2时，又综上，所求的a的取值范围是\[-9,+∞).213123092nnnaaaa2113aaa