二项式定理练习题

二项式定理练习题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在103x的展开式中，6x的系数为（）A．610C27B．410C27C．610C9D．410C92．已知a4b,0ba，nba的展开式按a的降幂排列，其中第n项与第n+1项相等，那么正整数n等于（）A．4B．9C．10D．113．已知（naa)132的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）A．10B．11C．12D．134．5310被8除的余数是（）A．1B．2C．3D．75．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）A．1.23B．1.24C．1.33D．1.346．二项式n4x1x2(nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A．1B．2C．3D．47．设(3x31+x21)n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x2项的系数是（）A．21B．1C．2D．38．在62)1(xx的展开式中5x的系数为（）A．4B．5C．6D．79．nxx)(5131展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（）A．330B．462C．680D．79010．54)1()1(xx的展开式中，4x的系数为（）A．－40B．10C．40D．4511．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x在[0，2π]内的值为（）A．6或3B．6或65C．3或32D．3或6512．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列an=3n－5的（）A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.13．92)21(xx展开式中9x的系数是.14．若44104xaxaa3x2，则2312420aaaaa的值为__________.15．若32()nxx的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是.16．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T1000=－C19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分.17．（12分）若nxx)1(66展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１）求n的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分）已知(124x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．19．（12分）是否存在等差数列na，使nnn1n2n31n20n12nCaCaCaCa对任意*Nn都成立？若存在，求出数列na的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？21.（12分）设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.22．（14分）规定!)1()1(mmxxxCmx，其中x∈R，m是正整数，且10xC，这是组合数mnC（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．(1)求315C的值；(2)设x０，当x为何值时，213)(xxCC取得最小值？(3)组合数的两个性质；①mnnmnCC.②mnmnmnCCC11.是否都能推广到mxC（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.参考答案一、选择题1．D2．A3．C4．A5．D6．C7．B8．C9．B10．D11．B12．C3．解：21/11/2nnCC，12n．5．解：(1.05)6=3362261606605.0C05.0C05.0CC05.01=1+0.3+0.0375+0.0025+…1.34．6．解：4r316xC2Tr8r81r，r=0,1,…,8.设k4r316，得满足条件的整数对(r,k)只有(0,4),(4,1),(8,-2).7．解：由,27224nn得162n，n=4,6r8xC3Tr4r41r,取r=4.8．解：设62)1(xx=622)(1xx的展开式的通项为,1rT则rrrxxCT)(261(r=0,1,2,…,6).二项式rxx)(2展开式的通项为nrnrnnnrnrnnxCxxCt)1()()1(21(n=0,1,2,…,r)62)1(xx的展开式的通项公式为rnnrnrrnrxCCT061,)1(令r+n=5,则n=5-r.0,60,0rnrr=3,4,5,n=2,1,0.62)1(xx展开式中含5x项的系数为:.6)1()1()1(05560144623362CCCCCC9．解：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x=1即得所有项系数之和，.11,210242101nn各项的系数为二项式系数，故系统最大值为611C或511C，为462．10．解：54)1()1(xx=45444)1()1()1()1()1()1(xxxxxx=xx()1(52)12x=)1464()1(25xxxxxx4x的系数为.45)1(6)1(1525335CCC二、填空题13．221；14．1；15．6471010TCC=210；16．①④．三、解答题17．解：（１）n=7（6分）（２）无常数项（6分）18．解：由01237,nnnCCC(3分)得11(1)372nnn（5分），得8n．（8分）455585135(2)416TCxx，该项的系数最大，为3516．（12分）19．解：假设存在等差数列nad)1n(a1满足要求（2分）nn1n2n31n20n1CaCaCaCann2n1nnn1n0n1nCC2CdCCCa（4分）=n12a1nn11n1n11n01n2nd2aCCCnd（8分）依题意n1nn12n2nd2a，02dna21对*Nn恒成立，（10分）,0a12d,所求的等差数列存在，其通项公式为)1n(2an．（12分）20．解：设耕地平均每年减少x亩，现有人口为p人，粮食单产为m吨/亩，（2分）依题意,%101p10m%11px1010%221m4104（6分）化简：22.101.011.1110x103（8分）2210110301.0C01.0C122.11.1110（10分）31.11011.10454.11.224x（亩）答：耕地平均每年至多只能减少4亩．（12分）21．解：展开式中，关于x的一次项系数为,11nmCC1n1m（3分）关于x的二次项系数为55n11n1nn1mmCC2212n2m，（8分）当n=5或6时，含x2项的系数取最小值25，此时m=6,n=5或m=5,n=6.（12分）22．解：(1)680!3)17)(16)(15(315C.（4分）(2))32(616)2)(1()(2213xxxxxxCCxx.（6分）∵x0,222xx.当且仅当2x时，等号成立.∴当2x时，213)(xxCC取得最小值.（8分）（3）性质①不能推广，例如当2x时，12C有定义，但122C无意义;（10分）性质②能推广，它的推广形式是mxmxmxCCC11，xR,m是正整数.（12分）事实上，当m＝１时，有11011xxxCxCC.当m≥２时.)!1()2()1(!)1()1(1mmxxxmmxxxCCmxmx11)!1()2()1(mmxmmxxx!)1)(2()1(mxmxxxmxC1．（14分）