3.2立体几何中的向量方法(1)

-----直线的方向向量与平面的法向量3.2立体几何中的向量方法(一)上一节,我们把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些立体几何问题.本节我们进一步学习立体几何中的向量方法.立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间向量解决立体几何问题,首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.思考如何确定一个点在空间的位置?在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗?给一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?给一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?OPOPOPP在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示。我们把向量称为点的位置向量。AP1、点的位置向量以及一个定方向确定。一个定点上的位置可以由空间中任意一条直线AllaABPABtAP2、直线的方向向量这样,点A和向量不仅可以确定直线l的位置,还可以具体表示出l上的任意一点.a相交直线来确定。内两条的位置可以由空间中平面αobaPbyaxOP3、平面的法向量这样,点O与向量不仅可以确定平面的位置,还可以具体表示出内的任意一点,ab法向量：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量αla类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置问题：法向量如何确定平面的位置？A给定一点A和一个向量a,那么，过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的。问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4((2,2,1),(4,5,3),ABACABC例：已知求平面的法向量。(2,2,1)0(4,5,3)0,1220,12453011(,1,1)2nxyznABnACxyzxyzxyzxzxyzyn设平面的法向量为（，，），则，（，，），（，，）即取，得因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。4、法向量的运用设直线ml,的方向向量分别为ba,，平面,的法向量分别为vu,，则线线平行l∥ma∥bbka；线面平行l∥au0ua；面面平行∥u∥v.vku注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。线线垂直l⊥ma⊥b0ba；线面垂直l⊥a∥uuka；面面垂直⊥u⊥v.0vu设直线ml,的方向向量分别为ba,，平面,的法向量分别为vu,，则例1(1)设分别是直线的方向向量,根据下列条件判断与的位置关系:①②③ab‚1l12ll‚2l(2,3,1),(6,9,3)ab(5,0,2),(0,4,0)ab(2,1,4),(6,3,3)ab分析:直线方向向量与直线位置关系,据此可判断两直线的位置关系1212;llabllab∥∥⊥⊥①平行②垂直③相交或异面例1(2)设分别是平面的法向量,根据下列条件判断与的位置关系:①②③uv‚‚1(1,1,2),(3,2,)2uv(0,3,0),(0,5,0)uv(2,3,4),(4,2,1)uv分析:平面法向量与两平面位置关系,据此可判断两平面的位置关系;uvuv∥∥⊥⊥①垂直②平行③相交(不垂直)例1(2)设分别是平面的法向量,根据下列条件判断与的位置关系:①②③uv‚‚1(1,1,2),(3,2,)2uv(0,3,0),(0,5,0)uv(2,3,4),(4,2,1)uv分析:直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系,据此可判断直线和平面的位置关系;laulau∥⊥⊥∥例1(3)设是平面的法向量,是直线的方向向量,根据下列条件判断与的位置关系:①②③u(2,2,1),(3,4,2)ua(0,2,3),(0,8,12)ua(4,1,5),(2,1,0)uaall①②垂直③相交(斜交)ll或∥例2已知平面经过三点A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),试求平面的一个法向量.解:∵A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)∴设平面的法向量是依题意,有,即解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2∴平面的一个法向量是(1,2,4),(2,4,3)ABAC(,,)nxyz00且nABnAC2402430xyzxyz(2,1,0)n小结1.直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具,是实现空间问题的向量方法的媒介.2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的法向量来研究直线、平面之间关系的原理与方法,特别是直线、平面的位置关系与方向向量、法向量之间的联系.