2014届高考数学理一轮总复习课件：第3章 第7讲 正弦定理和余弦定理

第7讲正弦定理和余弦定理不同寻常的一本书，不可不读哟！掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1个必记关键解三角形时，充分结合图形，根据条件，恰当选用正弦定理或余弦定理是关键．2条重要途径1.通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．2.利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过因式分解、配方等变换，求出三条边之间的关系进行判断．3种必会方法1.已知两角和一边(如A、B、c)，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.2.已知两边和夹角(如a、b、C)，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．3.已知两边和其中一边的对角(如a、b、A)，应用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.课前自主导学1.正弦定理分类内容定理asinA＝________＝________＝2R(R是△ABC外接圆的半径)变形公式①a＝________，b＝________，c＝________，②sinA∶sinB∶sinC＝________，③sinA＝a2R，sinB＝________，sinC＝________解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asinB，则角A的大小为________．(2)[2012·北京高考]在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．在△ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？2．余弦定理分类内容定理在△ABC中，有a2＝__________；b2＝________；c2＝________；变形公式cosA＝________；cosB＝________；cosC＝________.解决的问题①已知三边，求各角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.(1)[2012·陕西高考]在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.(2)已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是________．3．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝________＝________；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．(1)在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为________．(2)[2011·安徽高考]已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成等差数列，其公差为4，则△ABC的面积为________.1.bsinBcsinC2RsinA2RsinB2RsinCa∶b∶cb2Rc2R填一填：π6提示：由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，∴sinA＝12，A＝π6.(2)π2提示：asinA＝bsinB⇒sinB＝12⇒B＝π6，∴∠C的大小为π2.想一想：提示：充要条件，因为sinAsinB⇔a2Rb2R⇔ab⇔AB.2．b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab填一填：(1)2提示：b2＝a2＋c2－2accosB＝4，b＝2.(2)120°提示：a∶b∶c＝1∶1∶3，cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，C＝120°.3.12acsinB12absinC填一填：(1)43提示：cosC＝13，∴sinC＝223，S△＝12absinC＝43.(2)153提示：法1：设三条边中间边长为x，则另两边长为x－4，x＋4，则(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)cos120°，解得x＝10，∴S△ABC＝12×10×6×sin120°＝153.法2：求得x＝10，同法1，套用p＝12(a＋b＋c)＝32x＝15，∴S△ABC＝pp－ap－bp－c＝1515－615－1015－14＝153.核心要点研究例1[2012·浙江高考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[审题视点](1)应用正弦定理转化为角求解．(2)应用余弦定理转化为边求解．[解](1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB，所以tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.奇思妙想：本例第(2)问改为“若b＝3，试求△ABC面积的最大值．”已知条件不变，该如何解答？解：由b＝3，B＝π3及余弦定理可得9＝b2＝a2＋c2－2accosπ3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，∴ac≤9，当a＝c＝3时，取“＝”，∴S△ABC＝12acsinB＝34ac≤34×9＝934，∴S△ABC的最大值为943，当a＝b＝c＝3时取得．1.充分结合图形，根据条件，恰当选择用正弦定理或余弦定理是关键．2.已知两边与其中一边的对角解三角形时，注意解的情况，如已知a，b，A，比较a与bsinA大小．结合大边对大角可判断解的个数．[变式探究]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝1，c＝3.(1)若角C＝π3，则角A＝________；(2)若角A＝π6，则b＝________.答案：(1)π6(2)2或1解析：(1)由正弦定理asinA＝csinC，得sinA＝asinCc＝12，又ac，∴AC，∴A＝π6.(2)由asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝32，得C＝π3或2π3.当C＝π3时，B＝π2，可得b＝2；当C＝2π3时，B＝π6，此时得b＝1.例2[2013·温州模拟]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠B＝60°，2b＝a＋c，判断△ABC的形状．[审题视点]判断三角形的形状，可从角或边的两个角度思考，于是可通过正弦定理将边转化为角，或通过余弦定理转化为边，这样可有两种基本解法．[解]法一：2b＝a＋c,2sinB＝sinA＋sinC，∠B＝60°，∠A＋∠C＝120°，代入，得2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，展开整理得，32sinC＋12cosC＝1，sin(C＋30°)＝1，∠C＝60°，所以∠A＝60°，故△ABC为正三角形．法二：由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB，∠B＝60°，b＝a＋c2，(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos60°，(a－c)2＝0，a＝c＝b，故△ABC为正三角形．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．[变式探究](1)[2012·上海高考]在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定答案：(1)A(2)B(2)[2013·天津模拟]在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：(1)由sin2A＋sin2Bsin2C，得a2＋b2c2所以cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形，选A.(2)∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2.∴△ABC为直角三角形.例3[2012·山东高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.[审题视点](1)根据正弦定理即证明sin2B＝sinAsinC，切化弦变换已知条件即可．(2)根据(1)可得b＝2，三角形三边已知，由余弦定理求角的余弦，再求正弦，最后利用面积公式．[解](1)在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinB(sinAcosA＋sinCcosC)＝sinAcosA·sinCcosC，因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，因此sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝2，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12＋22－22×1×2＝34，因为0Bπ，所以sinB＝1－cos2B＝74，故△ABC的面积S＝12acsinB＝12×1×2×74＝74.(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与三角形有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，实施边角转化．[变式探究][2012·江西高考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－13，从而cosA＝－cos(B＋C)＝13.(2)由于0Aπ，cosA＝13，所以sinA＝223.又S△ABC＝22，即12bcsinA＝22，解得bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13.解方程组bc＝6，b2＋c2＝13，得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.∴b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.课课精彩无限【选题·热考秀】[2012·课标全国高考]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.[规范解答](1)由acosC＋3asinC－b－c＝0和正弦定理，得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0，因为B＝π－A－C，所以sinAcosC＋3sinAsinC－sin(π－A－C)－sinC＝0，也即sinAcosC＋3sinAsinC－sin(A＋C)－sinC＝3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝2sinCsin(A－π6)－sinC＝0.由sinC≠0，得sin(A－π6)＝12，又因为0Aπ，所以A＝π3；(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4，而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8，解得b＝c＝2.【备考·角度说】No.1角度关键词：易错分析(1)在边角进行互化时将角化为边，使问题复杂化，无法进行解答．(2)应用正弦定理，将边化为角后，忽视A＋B＋C＝π这个隐含条件，而使后面求解陷入困境．(3)由sin(A－π6)＝12求角A时，忽视了判断A的范围而产生错解．No.2角度关键词：备考建议在解三角形时，经常会出现以下几点错误：(1)不熟悉三角形的类型，无法确定解题中应用哪个定理；(2)忘记或不会应用三角形中的隐含条件；(3)求边、角时，忽略范围的讨论；(4)应用正、余弦定理时计算失误．另外，要熟练掌握正余弦定理的几