数模综合评价方法(一)

1数学建模竞赛2评价是人类社会中一项经常性的、极重要的认识活动，是决策中的基础性工作。在实际问题的解决过程中，经常遇到有关综合评价问题，如医疗质量的综合评价问题和环境质量的综合评价等。它是根据一个复杂系统同时受到多种因素影响的特点，在综合考察多个有关因素时，依据多个有关指标对复杂系统进行总评价的方法综合评价方法及应用综合评价的要点：（1）有多个评价指标，这些指标是可测量的或可量化的；（2）有一个或多个评价对象，这些对象可以是人、单位、方案、标书科研成果等；3（3）根据多指标信息计算一个综合指标，把多维空间问题简化为一维空间问题中解决，可以依据综合指标值大小对评价对象优劣程度进行排序。综合评价的一般步骤1．根据评价目的选择恰当的评价指标，这些指标具有很好的代表性、区别性强，而且往往可以测量，筛选评价指标主要依据专业知识，即根据有关的专业理论和实践，来分析各评价指标对结果的影响，挑选那些代表性、确定性好，有一定区别能力又互相独立的指标组成评价指标体系。2．根据评价目的，确定诸评价指标在对某事物评价中的相对重要性，或各指标的权重；3．合理确定各单个指标的评价等级及其界限；44．根据评价目的，数据特征，选择适当的综合评价方法，并根据已掌握的历史资料，建立综合评价模型；5．确定多指标综合评价的等级数量界限，在对同类事物综合评价的应用实践中，对选用的评价模型进行考察，并不断修改补充，使之具有一定的科学性、实用性与先进性，然后推广应用。目前，综合评价有许多不同的方法，如综合指数法、TOPSIS法、层次分析法、RSR法、模糊综合评价法、灰色系统法等，这些方法各具特色，各有利弊，由于受多方面因素影响，怎样使评价法更为准确和科学，是人们不断研究的课题。下面仅介绍综合评价的TOPSIS法、RSR法和层次分析法的基本原理及简单的应用。5例如：试根据下数据，如何对某市人民医院95~97年的医疗质量进行综合评价，即哪年的医疗质量高？某市人民医院95~97年的医疗数据年度床位周转次数床位周转率（%）平均住院日出入院诊断符合率（%）手术前后诊断符合率（%）三日确诊率（%）治愈好转率（%）病死率（%）危重病人抢救成功率（%）院内感染率（%）199520.97113.8118.7399.4299.8097.2896.082.5794.534.60199621.41116.1218.3999.3299.1497.0095.652.7295.325.99199719.13102.8517.4499.4999.1196.2096.502.0296.224.7961TOPSIS法（逼近理想解排序法）Topsis法是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用方法。是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中的最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。1.1基本原理TOPSIS法是TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution的缩写，即逼近于理想解的技术，它是一种多目标决策方法。方法的基本思路是定义决策问题的理想解和负理想解，然后在可行方案中找到一个方案，使其距理想解的距离最近，而距负理想解的距离最远。7理想解一般是设想最好的方案，它所对应的各个属性至少达到各个方案中的最好值；负理想解是假定最坏的方案，其对应的各个属性至少不优于各个方案中的最劣值。方案排队的决策规则，是把实际可行解和理想解与负理想解作比较，若某个可行解最靠近理想解，同时又最远离负理想解，则此解是方案集的满意解。1.2距离的测度采用相对接近测度。设决策问题有m个目标，，n个可行解；并设该问题的规范化加权目标的理想解是Z*，其中jfmj,,2,1）（imiiiZZZZ,,,21n,,,i21）（mZZZZ,,,21那么用欧几里得范数作为距离的测度，则从任意可行解到的距离为：iZZ8mjjiji)ZZ(S12n,,,i21式中，Zij为第j个目标对第i个方案（解）的规范化加权值。同理，设为问题的规范化加权目标的负理想解，则任意可行解到负理想解之间的距离为：TmZZZZ）（,,,21iZZmjjijiZZS12)(n,,,i21那么，某一可行解对于理想解的相对接近度定义为：iiiiSSSC0≤Ci≤1,i=1，…，n，90≤Ci≤1,i=1，…，n，iiiiSSSC于是，若是理想解，则相应的Ci=1；若是负理想解，则相应的Ci=0。愈靠近理想解，Ci愈接近于1；反之，愈接近负理想解，Ci愈接近于0。那么，可以对Ci进行排队，以求出满意解。1.3TOPSIS法计算步骤第一步：设某一决策问题，其决策矩阵为A.由A可以构成规范化的决策矩阵Z′，其元素为Z'ij，且有niijijijffZ12mjni,,2,1;,,2,1式中，fij由决策矩阵给出。10第二步：构造规范化的加权决策矩阵Z，其元素ZijZij=WjZ‘iji=1，…，n；j=1，…，mWj为第j个目标的权。第三步：确定理想解和负理想解。如果决策矩阵Z中元素Zij值越大表示方案越好，则}m,,,jZmax{Z,,Z,ZZijim2121）（}m,,,jZmin{Z,,Z,ZZijim2121）（第四步：计算每个方案到理想点的距离Si和到负理想点的距离。第五步：按式iiiiSSSC计算Ci，并按每个方案的相对接近度Ci的大小排序，找出满意解。js11多目标综合评价排序的方法较多，各有其应用价值。在诸多的评价方法中，TOPSIS法对原始数据的信息利用最为充分，其结果能精确的反映各评价方案之间的差距，TOPSIS对数据分布及样本含量，指标多少没有严格的限制，数据计算亦简单易行。不仅适合小样本资料，也适用于多评价对象、多指标的大样本资料。利用TOPSIS法进行综合评价，可得出良好的可比性评价排序结果。121.4应用实例1、TOPSIS法在医疗质量综合评价中的应用试根据表8.1数据，采用Topsis法对某市人民医院1995~1997年的医疗质量进行综合评价。表8.1某市人民医院1995~1997年的医疗质量年度床位周转次数床位周转率（%）平均住院日出入院诊断符合率（%）手术前后诊断符合率（%）三日确诊率（%）治愈好转率（%）病死率（%）危重病人抢救成功率（%）院内感染率（%）199520.97113.8118.7399.4299.8097.2896.082.5794.534.60199621.41116.1218.3999.3299.1497.0095.652.7295.325.99199719.13102.8517.4499.4999.1196.2096.502.0296.224.79在原始数据指标中，平均住院日、病死率、院内感染率三个指标的数值越低越好，这三个指标称为低优指标；其它指标数值越高越好，称为高优指标。是低优指标的可转化为高优指标，其方法为是绝对数低优指标可使用倒数法（），是相对数低优指标，可使用差值法（）。这里，平均住院日采用倒数转化，病死率、院内感染率采用差值转化。xx100xx113转化后数据见表8.2。表8.2转化指标值年度床位周转次数床位周转率（%）平均住院日出入院诊断符合率（%）手术前后诊断符合率（%）三日确诊率（%）治愈好转率（%）病死率（%）危重病人抢救成功率（%）院内感染率（%）199520.97113.815.3499.4299.8097.2896.0897.4394.5395.40199621.41116.125.4499.3299.1497.0095.6597.2895.3294.01199719.13102.855.7399.4999.1196.2096.5097.9896.2295.21根据表8.2数据，利用公式niijijijffZ12进行归一化处理，得归一化矩阵值，如表8.3。例如计算1995年床位周转次数归一化值，2221113.1941.2197.2097.20Z509.014表8.3归一化矩阵值年度床位周转次数床位周转率平均住院日出入院诊断符合率手术前后诊断符合率三日确诊率治愈好转率病死率危重病人抢救成功率院内感染率19950.5900.5920.5600.5770.5800.5800.5770.5770.5720.58119960.6020.6040.5700.5770.5760.5780.5750.5760.5770.57219970.5380.5350.6010.5780.5760.5740.5800.5800.5830.579由式（8.7）和式（8.8）得最优方案和最劣方案：}m,,,jZmax{Z,,Z,ZZijim2121）（}m,,,jZmin{Z,,Z,ZZijim2121）（Z0.581,0.583,0.580,0.580,0.580,0.580,0.578,0.601,0.604,0.602Z0.572,0.572,0.576,0.575,0.574,0.576,0.577,0.560,0.535,0.53815由式（8.10）、（8.11）和式（8.1）、（8.2）计算各年度和，见表8.4。SSmjjijiZZS12)(mjjijiZZS12)(例如计算1997年S和S222579058105350604053806020......S094.0222579057205350535053805380......S044.0其余各年依次类推。由式（8.3）计算各年度iC，见表8.4。例如计算1997年iC：319.0044.0094.0044.0iiiiSSSC16表8.4不同年度指标值与最优值的相对接近程度及排序结果SSiC年份排序结果19950.0450.0780.634219960.0340.0950.736119970.0940.0440.3193由表8.4的排序结果可知1996年医疗质量最好。17问题：某医院对护士考核有4个指标，它们分别是：业务考核成绩（）、操作考核结果（）、科内测评（）和工作量考核（）；下表8.9是某病区8名护士的考核结果：1x2x3x4x待评对象（n）1x2x3x4x护士甲86优-100233.9护士乙92良98.2192.9护士丙88良99.1311.1护士丁72良95.5274.9护士戊70优97.3263.6护士己94优100182.3护士庚84良91.97220.6护士辛50良91.97182.0试对护士进行综合评价，即给出排名和分档法。2、秩和比法182、秩和比法秩和比法是我国统计学家田凤调教授于1988年提出的一种新的综合评价方法，它是利用秩和比RSR（Rank-sumratio）进行统计分析的一种方法，该法在医疗卫生等领域的多指标综合评价、统计预测预报、统计质量控制等方面已得到广泛的应用。秩和比是一个内涵较为丰富的综合性指标，它是指行（或列）秩次的平均值，是一个非参数统计量，具有0～1连续变量的特征，近年来秩和比统计方法不断完善和充实。2.1分析原理及步骤1、分析原理秩和比是一种将多项指标综合成一个具有0~1连续变量特征的统计量，也可看成0~100的计分。多用于现成统计资料的再分析。不论所分析的问题是什么，计算的RSR越大越好。19为此，在编秩时要区分高优指标和低优指标，有时还要引进不分高低的情况。例如，评价预期寿命、受检率、合格率等可视为高优指标；发病率、病死率、超标率为低优指标。在疗效评价中，不变率、微效率等可看作不分高低的指标。指标值相同时应编以平均秩次。秩和比综合评价法基本原理是在一个n行m列矩阵中，通过秩转