高中数学基本不等式证明

1不等式证明基本方法例1：求证：221ababab分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。证明：221()ababab2221[()(1)(1)]02abab评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用。例2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆：设cba，求证：baaccbabcabc222222分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。证明：)(222222baaccbabcabc=)()()(ababcacabcbc=)()]()[()(ababcbbacabcbc=))()((accbbacba，则,0,0,0accbba∴0))()((accbba故原不等式成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：)(222222baaccbabcabc)())(()(2ababbabacabc，这样容易发现规律。例3：已知,,abR求证：11()()2()nnnnababab证明：11()()2()nnnnababab11nnnnababab()()nnababab()()nnabbaⅰ）当0ab时，0,nnabba，则()()0nnabbaⅱ）当0ab时，0,ab，则()()0nnabba2ⅲ）当0ba时，0,nnabba，则()()0nnabba评注：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分，作差后能因式分解，作商后能进一步简化变形等，是运用比较法的外部特征。当作差或商后的式子中含有字母时，有时需对字母进行分类讨论。例4：已知,,abR且,ab求证：abbaabab分析一：作差后可以判定符号，可用作差法。证法一：(1)abbaabbaababababab[1()]abbaaabbⅰ）当ab时，1,0,abab则()1baabⅱ）当ab时，01,0,abab则()1baab又∵0abab，∴abbaabab分析二：不等式两边次数不同，也可以先降次，再作差。证法二：∵0,0ab∴lg()lg()abababbalglglglgaabbabba()(lglg)ababⅰ）当0ab时，ab与lglgab同为正ⅱ）当0ba时，ab与lglgab同为负∴lg()lg()abababba即abbaabab评注：有时可将原不等式变形后再作差比较（如平方后作差等），可使变形更方便。分析三：不等式两边均为正数，也可用作商法。证法三：()ababababababⅰ）当0ab时，1,0,()1abaaabbbⅱ）当0ba时，01,0,()1abaaabbb∴abbaabab评注：1．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论2．作差法是通法，运用较广。作商法要注意条件，不等式两边必须为正数。常用于证幂、指数形3式的不等式。例5：设cba,,都正数，求证：cbacabbcaabc新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆分析：不等式左边可以两两运用均值不等式，得到不等式右边。证明：,,,Rcba,,,Rcabbcaabc∴2,2,2bccacaababbccababbcca∴2(bca)(2cbacabbca，∴cbacabbcaabc新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆评注：1.利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法奎屯王新敞新疆2．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法奎屯王新敞新疆例6:设a,b,c均为正实数，求证：a21+b21+c21≥cb1+ac1+ba1.分析一：不等式左边两两结合，可以连续使用均值不等式。证法一：∵a,b,c均为正实数，∴21（a21＋b21）≥ab21≥ba1，当a=b时等号成立；21（b21＋c21）≥bc21≥cb1，当b=c时等号成立；21（c21＋a21）≥ca21≥ac1．当a=c时等号成立；三个不等式相加即得a21+b21+c21≥cb1+ac1+ba1，当且仅当a=b=c时等号成立.分析二：从一些常用不等式出发，可以减少思维回路，降低解题难度，提高效率。证法二：∵0,0ba.4)11)((baba∴.411baba同理：.411bcbc.411caca∴.444)111(2cacbbacba∴a21+b21+c21≥cb1+ac1+ba1评注：运用综合法证明不等式，必须发现式子的结构特征，结合重要不等式和常用不等式，找到解题的方法。例7:已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1.求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.分析：在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若将“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a,b,c∈R+且a+b+c=1，∴要证原不等式成立，即证［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.4也就是证［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）①∵（a+b）+（b+c）≥2））（（cbba＞0，（b+c）+（c+a）≥2））（（accb＞0，（c+a）+（a+b）≥2））（（baac＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得证.评注：1.证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法奎屯王新敞新疆分析法的思维特点是：执果索因奎屯王新敞新疆2.分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题1B为真，从而有……这只需要证明命题2B为真，从而又有……这只需要证明命题A为真,而已知A为真，故命题B必为真奎屯王新敞新疆例8:设0ba，求证：.8)(28)(22bbaabbaaba分析：不等式的形式较复杂，可以从原不等式出发，进行化简变形。证法一：要证原不等式成立，只需证：.8)(2)(8)(222bbabaaba∵ba只需证.4)(14)(22bbaaba只需证bbaaba212，只需证baab1∵0ba上式成立∴原不等式在0ba时成立.证法二：∵0ba∴baab1∴bbaaba212∴.4)(14)(22bbaaba∴.8)(2)(8)(222bbabaaba即.8)(28)(22bbaabbaaba评注：分析法与综合法本质上是一致的，形式上是互逆的，我们常常用分析法寻找证题思路，用综合法书写证明过程。配套小练习：5证明下列不等式1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆己知cba,,都是正数，且cba,,成等比数列，求证：.)(2222cbacba2．已知a,b,x,y∈R+且a1＞b1，x＞y.求证：axx＞byy3.已知ba,均为正数，且1ba，求证：222)(byaxbyax.4．设a,b,cR，求证：)(2222222cbaaccbba5.已知cba,,是正实数，求证：.222cbaaccbba6.已知cba,,为不相等的正数，且1abc，求证：.111cbacba7.若a,b0,2ca+b,求证:(1)c2ab（2）c-abc2ac+abc28.已知cba,,均为正数，且1cabcab，求证：①3cba；②).(3cbaabcacbbca解答：1.证明：)(2)(2222acbcabcbacbacba,,成等比数列，acb2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆cba,,都是正数，cacaacb20新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆,bca0)(2)(2)(22bcabbbcabacbcab新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆.)(2222cbacba2.证法一：（作差比较法）∵axx－byy=））（（byaxaybx，又a1＞b1且a,b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴））（（byaxaybx＞0，即axx＞byy.证法二：（分析法）∵x,y,a,b∈R+，∴要证axx＞byy，只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya.6而由a1＞b1＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.3.证明：∵1ba∴2222222222)(ybabxyxabyaxbyaxbyax22)1(2)1(ybbabxyxaa.)()2(222yxabyxyxab∵0)(,0,02yxba∴.)(222byaxbyax4.证明：∵0)2(2222baba∴2|2|222bababa∴)(2222baba同理：)(2222cbcb，)(2222acac三式相加：)(2222222cbaaccbba5.证明：∵0,0ba∴abba22同理：caac22；bccb22∴.222cbaaccbba